多边形及其内角和

官官方数学老师·13 页·进阶（有基础，想深入原理）·0 次浏览·3 天前

✦ 多边形及其内角和数学多边形及其内角和多边形

三角形内角和公式推导

多边形及其内角和

看穿内角和公式从何而来：多边形都能切成三角形

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三角形内角和公式推导

多边形及其内角和

看穿内角和公式从何而来：多边形都能切成三角形

1第 1 页 · 多边形及其内角和

将多边形分割成三角形的方

上一节我们得到 n 边形内角和是 (n−2)×180°。但为什么偏偏是「减 2」？答案藏在一个几何动作里——把多边形切成三角形。

三角剖分

在多边形内部用互不相交的对角线，切成若干三角形

从一个顶点出发

任选一顶点，向其他 n−3 个不相邻顶点连对角线，恰得 n−2 个三角形

凹顶点的陷阱

凹多边形必须从凸顶点出发，否则对角线会落在多边形外面

凸多边形对角线总数

所有对角线条数为 n(n−3)/2，是三角剖分的「原料库」

蜘蛛在墙角吐丝织网对应 →三角剖分

蜘蛛固定在一个顶点，每根丝连向对面顶点，每多一根丝就多出一块三角区域

\text{三角形数}=n-2,\quad \text{对角线数}=\dfrac{n(n-3)}{2}

2第 2 页 · 将多边形分割成三角形的方

多边形

前面我们用三角形作“积木”来研究内角和。现在先问一个更基础的问题：什么样的图形，才能被可靠地拆成这些三角形？

线段围合

由有限条线段首尾相接，形成一条封闭的轮廓。

顶点与边

相邻线段的接点叫顶点，线段叫边，边数常用 n 表示。

不自交条件

相邻边只在端点相接；非相邻边不交叉，才是通常讨论的简单多边形。

分类与用途

可按边数命名，也可按凹凸分为凸、凹多边形，用于分割、建模和计算。

首尾相接的纸条围成的圈对应 →简单多边形

纸条对应边，街头接点对应顶点，封闭的一圈对应多边形轮廓。

3第 3 页 · 多边形

n 边形

上一页推出：三角形内角和180°，四边形360°，五边形540°。每多一条边，多出180°。这条规律要怎么写才通用？把"边数"换成字母 n——"n边形"就是从这里自然走出来的。

n边形定义

n条线段首尾相连组成的封闭图形，有n个顶点、n个内角

正n边形

各边相等且各内角相等的特殊n边形

内角和公式

任意n边形内角和恒为(n−2)×180°，与n的奇偶无关

变量化思维

用n代替具体数字，一次推导覆盖所有多边形

代数中的字母x对应 →几何中的字母n

x=3得3、x=4得4；n=3得三角形、n=4得四边形——字母把无穷情形压缩成一个式子

(n-2) \times 180^\circ

4第 4 页 · n 边形

多边形的内角

上页认识了 n 边形，它有 n 个顶点。这页聚焦每个顶点处的「内角」——它不是任意角，而是有严格定义和性质。本页拆定义、性质与典型应用。

定义

相邻两边在多边形内部所夹的角；凹多边形时该角可能大于 180°

与外角互补

沿同一边，内角 + 外角 = 180°，是推导内角和的关键桥梁

数量与公式

n 边形有 n 个内角；正 n 边形每个内角 = (n−2)·180°/n

典型应用

已知部分内角反推边数，或用内角和验证多边形是否可能

折扇两扇骨张开的夹角对应 →多边形的内角

每对相邻扇骨围出一片扇面，对应每对相邻边围出一个内角

\text{正}\,n\,\text{边形每个内角}=\dfrac{(n-2)\cdot 180°}{n}

5第 5 页 · 多边形的内角

多边形的外角

上一页我们算了多边形内角和，那如果把一条边往外延长呢？延长线与相邻边之间会冒出一个新角——这就是多边形的外角。

外角的定义

一边与其相邻边延长线所组成的角，每个顶点可取两个外角

与内角互补

外角与紧邻的内角共线成邻补角，两者之和为 180°

外角和恒等式

任意凸多边形所有外角之和恒等于 360°，与边数无关

典型应用

利用外角和求五角星、不规则图形中的未知角

绕多边形边缘走一圈对应 →多边形的外角和

每到顶点转弯，转角即外角；走回原点累计刚好转 360°

\text{外角}+\text{内角}=180° \quad \Rightarrow \quad \sum\text{外角}=360°

6第 6 页 · 多边形的外角

多边形的对角线

上一页用对角线把多边形切成三角形求内角和，这条辅助线很关键。今天专门来研究它的性质与数量规律。

对角线的定义

多边形中连接两个不相邻顶点的线段

单个顶点可作的对角线

n 边形任一顶点可连 (n-3) 条（去掉自身与 2 个相邻顶点）

对角线总数

n 边形共 n(n-3)/2 条；每条被两端各算一次，需除以 2

凸多边形 vs 凹多边形

凸多边形对角线全在内部；凹多边形部分对角线落在多边形外

圆桌上 n 个人互相握手对应 →n 边形每个顶点连对角线

不能跟自己握，也不能跟左右两个邻座握（已是边），所以每人新增 n-3 个对象

\dfrac{n(n-3)}{2}

7第 7 页 · 多边形的对角线

凸多边形

上一节我们画对角线时发现，有些线段会"跑出"图形外——这并非偶然，而是暴露了多边形的关键分类。凸多边形就是其中最规整、也最常用的一类。

核心定义

任意两顶点的连线段完全落在多边形内部

等价判据

每一个内角都严格小于 180°

对角线全在内

所有对角线都在图形内部，便于分割成三角形

典型应用

凸包计算、碰撞检测、计算几何的基础图形

张紧的橡皮筋包围点集对应 →凸多边形（凸包）

橡皮筋自然绷紧后贴合最外侧凸起点，围出的就是包含所有点的最小凸多边形

8第 8 页 · 凸多边形

正多边形

蜜蜂的蜂巢是六边形的，雪花是六瓣的，足球由黑白皮拼成——这些图样里藏着同一种'完美'：所有边都等长，所有角都相等。这就是正多边形。

定义

各边相等且各内角相等，两个条件必须同时满足

每个内角

等于 (n−2)×180°÷n，由内角和公式直接推出

每个外角

都相等，且外角和恒为 360°，故外角=360°÷n

旋转对称

绕中心旋转 360°÷n 后，图形与自身完全重合

典型应用

蜂巢、地砖镶嵌、雪花对称、艺术图案设计

同学们围成圆圈等距站立对应 →正多边形的旋转对称性

每个同学相当于一个顶点，绕圆心转过相同角度后位置互换，整体队形不变

\text{每个内角}=\frac{(n-2)\times 180°}{n},\quad \text{每个外角}=\frac{360°}{n}

9第 9 页 · 正多边形

多边形内角和公式

上页我们发现，从一个顶点出发画对角线，能把 n 边形分成 (n-2) 个三角形。把这些三角形的内角加起来，恰好就是这个多边形所有的内角。这条规律，能不能写成一个公式？

内角和公式

n 边形的内角和 = (n-2) × 180°，其中 n 是边数

核心原理

n 边形可拆成 (n-2) 个三角形，每个三角形内角和固定为 180°

数值验证

n=3 得 180°，n=4 得 360°，n=6 得 720°，与实际完全一致

正多边形每角

正 n 边形每个内角相等，所以等于 (n-2)×180° ÷ n

切披萨对应 →内角和拆分

整张披萨的面积等于所有切片的面积之和，多边形内角和等于所有拆分三角形内角之和

S = (n-2) \times 180°

10第 10 页 · 多边形内角和公式

多边形外角和

上页我们认识了外角——把任意一边延长，与邻边形成的角。这一页要追问一个漂亮的问题：把多边形所有外角加起来，结果等于多少？

内外角互补

每个顶点处，内角+外角=180°，二者互为补角

外角和恒为360°

无论三角形还是正一千边形，外角和始终等于360°

关键推导

n个180°减去内角和(n-2)×180°，化简后恰好等于360°

沿多边形外围走一圈对应 →外角和恒为360°

每到拐角转一次方向，转过的就是外角；走完整圈正好360°，回到原朝向

\text{外角和}=n\times 180°-(n-2)\times 180°=360°

11第 11 页 · 多边形外角和

本节要点

✓内角和 (n-2)×180° 来自三角剖分
✓外角和恒为 360°，与边数、凹凸无关
✓正多边形每个内角 = (n-2)×180°÷n
✓对角线条数 n(n-3)/2 是组合计数

延伸主题：正多边形内切圆与外接圆多边形面积公式与等积变形

12第 12 页 · 本节要点

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