小数除法

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✦ 小数除法数学小数除法有限小数

入门算理生活类比

小数除法

从分钱、切蛋糕入手，搞懂小数除法的算理和算法

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入门算理生活类比

小数除法

从分钱、切蛋糕入手，搞懂小数除法的算理和算法

1第 1 页 · 小数除法

小数除法竖式计算方法

分糖果时把6颗平均分给4人，每人1颗还多2颗——你会不会把多出的2颗'变成'20个小小块再继续分？这正是小数除法竖式要做的：一步步把'剩下的'细分到更小的单位。

商的小数点要对齐

竖式中商的小数点要和被除数的小数点上下对齐，是计算的基准线

整数部分不够除

如1.2÷6，整数部分1除以6不够，就在商的位置写0并点上小数点

余数添0继续除

除到末尾仍有余数，就在余数后补0继续除，直到除尽或达到所需位数

除数是小数先转化

除数和被除数同时扩大相同倍数（移动小数点），把小数除法变成整数除法

把绳子平均分成几段对应 →小数除法竖式

整段不够分时，把剩下的'化'成更小单位继续分，对应竖式中添0继续除

a \div b = (a \times 10^n) \div (b \times 10^n)

2第 2 页 · 小数除法竖式计算方法

四舍五入取近似数

上页算小数除法，1÷3 算啊算永远是 0.3333……除不完，怎么办？生活里其实常这样——班上有几十人，我们不会一个个数，说'大概多少人'就行。除法也一样，找个'差不多'的数代替精确值。

近似数

除不尽或位数太多时,用'差不多'的数代替精确结果

四舍五入规则

看要保留位的下一位:<5舍去,≥5就往前进1

只看'下一位'

后面的数字不管,只看紧邻的那一位决定

保留几位小数

如'保留两位'就是小数点后只留两位,其余按规则处理

排队按身高分组对应 →四舍五入取近似数

1.34米归1.3米组(下一位4<5舍掉);1.37米归1.4米组(下一位7≥5进上去)

3第 3 页 · 四舍五入取近似数

除数是整数的小数除法

上节我们学会了竖式计算的基本步骤。今天专门看一种情况：被除数是小数、除数却是整数——这正是最容易出错的版本。比如把5.6斤米平均分给7个人，每人到底分多少？

定义

被除数是小数、除数是整数的除法

小数点对齐

商的小数点必须和被除数的小数点竖着对齐

不够除补零

整数部分不够除时商0占位，余数末尾添0继续除

典型应用

把小数形式的总量平均分给整数份

把一堆米平均分人对应 →除数是整数的小数除法

米有5.6斤是小数总量，但分给7个人是整数份数，求每人分到多少

5.6 \div 7 = 0.8

4第 4 页 · 除数是整数的小数除法

除数是小数的小数除法

上节课我们学会了除数是整数的小数除法。今天反过来——除数本身就是小数，比如 3.6÷0.5，竖式还能直接算吗？这节课来解决这个新难题。

遇到的新问题

除数带小数点，竖式里位数对不齐，没法直接套整数除法的套路

商不变性质

被除数和除数同时乘以同一个数（0除外），商的大小不变

转化方法

除数的小数点向右移动变成整数，被除数的小数点也同步移动同样位数

转化后计算

变成除数是整数的小数除法，按上节课学的方法竖式完成

把「元」换成「角」对应 →把小数除数转化为整数

3.6元÷0.5元 = 36角÷5角，两边单位一起换，结果仍是7.2

3.6 \div 0.5 = (3.6 \times 10) \div (0.5 \times 10) = 36 \div 5

5第 5 页 · 除数是小数的小数除法

小数点移动规则

上一节我们用「把除数变成整数」的招数算除法，今天就把它背后的通用规则——小数点移动规则，正式总结清楚。

规则定义

除数是小数时，把除数和被除数的小数点同时向右移动，让除数先变成整数

方向一致

两个小数点都向右移，不允许一个向左、一个向右

位数相同

移动几位由除数的小数位数决定，除数有几位小数就都移几位

商不变

两个数同时按相同倍数放大，商的大小并不会改变

两人并排走路对应 →两个小数点同步移动

两人迈同方向、同步数，队伍才不会散

\frac{a}{b}=\frac{a\times 10^n}{b\times 10^n}

6第 6 页 · 小数点移动规则

有限小数

做小数除法时，有的题算着算着余数变成 0，干干净净地结束了。但有的题余数怎么都消不掉，只能四舍五入。前面那种能除尽的，叫有限小数。

什么是有限小数

除法除得尽，小数位数有限的数，如 0.5、0.125

具体例子

1÷2=0.5、1÷4=0.25、1÷8=0.125、3÷8=0.375

除得尽的规律

化成最简分数后，分母只由 2 和 5 组成（如 2、4、5、8、10）

为什么要学

能精确写出的结果不用再四舍五入，答案更准确

把糖果平均分给小朋友对应 →有限小数除法

每人刚好分到整数颗，不多不少；除法余数为 0 干净结束

7第 7 页 · 有限小数

循环小数

前面我们学过 1÷4=0.25，除到余数为 0 就停了，是有限小数。可如果算 1÷3，竖式除下去你会发现——商永远除不完，3 会一直重复写下去。这是怎么回事？

什么是循环小数

一个小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现

循环节

不断重复出现的这段数字叫循环节，如 0.333... 的循环节是 3

为什么会循环

余数只能是 0 到除数-1 共有限种，迟早重复，循环就开始了

绕操场跑圈对应 →余数循环

跑道上的位置就那么几个，走到之前到过的位置后，后面跑的路就跟上次一模一样

8第 8 页 · 循环小数

商的近似数

生活中买东西、量长度，我们很少说「无限精确」的值。「3÷7等于多少」如果除不尽，我们通常会取一个近似值。

何时取近似数

除法除不尽时，按要求保留几位小数

四舍五入法

看下一位数字：≥5进1，<5舍去

多除一位

要保留n位小数，先除到第n+1位再四舍五入

实际应用

生活中不需要无限精确，约等够用即可

去菜市场买菜算账对应 →商的近似数

3.333…元付不出，收银时约等于3.33元

9第 9 页 · 商的近似数

本节要点

✓除数是小数，先把小数点右移变成整数再除
✓被除数的小数点必须跟着移动相同的位数
✓余数重复出现，商就形成循环小数
✓除不尽时按要求用四舍五入取近似数

延伸主题：分数与小数互化小数乘除混合运算循环小数的表示方法

10第 10 页 · 本节要点

课后思考

先遮住参考答案自己想一想，再点开对照。三问分别对应核心、应用、迁移三种层次。

1除数是小数时，为什么必须先把它变成整数才能算？这一步背后用到了什么「不变的量」？

参考答案商不变性质：被除数和除数同时乘以或除以同一个数（0 除外），商不变。把小数除数乘以 10 的倍数变成整数，被除数也同步放大，商的大小不变——这就是「不变的量」。

2把 10 元钱平均分给 3 个人，结果是 3.333… 元。生活中你会怎么处理这个结果？为什么？

参考答案实际付款保留到分（两位小数），结果是 3.33 元，第三位四舍五入。数学上 3.33… 无限循环，生活中按需截取到合适精度。数学追求精确，生活讲究够用。

3拿到 1/7、5/8、2/9 这些分数，有没有办法不计算就判断它们化成小数是有限还是循环的？

参考答案看分母的质因数：分母只含 2 和 5 的是有限小数（如 5/8=0.625）；含其他质因数的就是循环小数（如 1/7、2/9）。这是有限与循环小数的根本分界。

11第 11 页 · 课后思考