反比例函数

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✦ 反比例函数数学反比例函数

函数图象几何性质进阶讲解

反比例函数

看清 k 的几何意义，掌握六类图象性质的来龙去脉

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函数图象几何性质进阶讲解

反比例函数

看清 k 的几何意义，掌握六类图象性质的来龙去脉

1第 1 页 · 反比例函数

两个量乘积恒定的实例

从家到学校的路程是固定的。骑得快 15 分钟到，骑得慢要 30 分钟。速度一变，时间就跟着反向变化——这是反比例关系最经典的实例。

路程固定

反比例关系里的「不变量」，决定两变量乘积的大小

速度与时间

此消彼长的两个量，速度变大时间就变小

乘积恒等于路程

速度×时间始终等于路程，是数学上的恒等关系

切蛋糕分给人对应 →速度与时间的反比

蛋糕大小固定，每人份越多能分到的人越少；路程固定，速度越快用时越短

v \times t = s \quad (s \text{ 为定值})

2第 2 页 · 两个量乘积恒定的实例

反比例函数的定义

上页我们看到速度×时间、单价×数量这些'乘积恒定'的实例。这种'乘积不变'的关系能否用统一的代数式表达？这就是反比例函数的标准定义。

标准形式

y = k/x，其中 k 是常数

系数限制

k ≠ 0，否则 y 恒为 0，不构成反比例

自变量限制

x ≠ 0，分母不能为零

等价形式

变形得 xy = k，恰好是上页的乘积恒定

把总额 k 的活分给 x 个人对应 →反比例函数 y = k/x

人数越多每人越少，但人数×每人份额始终等于 k

y = \dfrac{k}{x}, \quad k \neq 0, \quad x \neq 0

3第 3 页 · 反比例函数的定义

判断一个函数是否为反比例函数

拿到一个函数表达式，三步走完就能判定它是不是反比例函数。

锁形式

判断能否写成 xy=k 或 y=k/x 的核心长相

变形求k

通分移项，把系数 k 分离出来并确认它是常数

验条件

确认 k≠0 且定义域不包含 x=0

4第 4 页 · 判断一个函数是否为反比例函数

描点作图法的步骤

用描点法画反比例函数图象分三步：列表、描点、连线，顺序不可乱。

列表取值

取若干 x（避开 0），代入 y=k/x 求对应 y，填成表格

描出对应点

在坐标系上精确标出每组 (x, y) 的位置

平滑连线

用光滑曲线顺次连接两侧各点，得到双曲线

5第 5 页 · 描点作图法的步骤

以 y=6/x 为例完整作图

从列表求值到描点连线，五步完整呈现 y=6/x 图像的诞生过程。

图解渲染中…

a1：x不能取0，分母为零函数无意义a3：8个点关于原点中心对称，分布在x轴两侧a4：两支曲线各自延伸，永不相交也不接原点a5：图像分布在第一、三象限，y随|x|增大而减小

6第 6 页 · 以 y=6/x 为例完整作图

取点技巧与图象趋势

上页我们把 y=6/x 的几个点连成一条曲线。但当时取点是临时想到的——这次我们专门聊聊：怎么取点才能一眼看清趋势，以及从这条曲线上能读出什么关键信息。

等比取点更清晰

取 x=1,2,3,6 这种倍数关系，对应 y=6,3,2,1，跨度均匀、覆盖范围广

x 翻倍 y 减半

x 每翻一倍，y 就缩到一半；但继续翻倍，y 缩小得越来越慢

无限逼近但不接触

曲线越来越接近 x 轴和 y 轴，但永远不会碰到——这就是渐近线

100 万预算分给 n 个项目对应 →y = k/x 中 y 随 x 变化

总预算=k 固定；项目越多，每人分到的越少，趋近于 0 但永远不为 0

x \to +\infty \;\Rightarrow\; y = k/x \to 0

7第 7 页 · 取点技巧与图象趋势

反比例函数图象的名称

上一节我们亲手描出 y=6/x 的图象,亲眼看到它断成了两支。现在给它一个正式学名,再弄清 k 的正负怎样决定它的「阵地」分布。

双曲线

图象由两条不相连的曲线组成,「双」即两条,因形得名

位置随 k 而定

k>0 时位于第一、三象限;k<0 时位于第二、四象限

象限原理

由 xy=k 决定:x 与 y 同号进 ⅠⅢ,异号进 ⅡⅣ

永不相交

无论 x 多大,图象无限靠近但永不接触坐标轴

双胞胎远远相望对应 →双曲线的两支曲线

虽分两地却彼此呼应,这正是「双」字取名的由来

$xy=k$,\ k>0\Rightarrow xy>0\Rightarrow\text{同号}\Rightarrow\text{Ⅰ、Ⅲ象限}

8第 8 页 · 反比例函数图象的名称

k 值对图象位置的影响

上一页我们画出了 y=6/x，图象落在第一、第三象限。如果把 6 换成 -6，图象会跑到哪里去？k 的正负，决定了双曲线的「地盘」。

k>0 的位置

图象分布在第一、第三象限，两支关于原点对称

k<0 的位置

图象分布在第二、第四象限，分支同样关于原点对称

推导依据

由 xy=k 知，k 的正负决定 xy 的正负，即 x 与 y 同号或异号

乘法符号规则对应 →k 决定象限分布

正正得正、负负得正→x 与 y 同号→一三象限；正负得负→x 与 y 异号→二四象限

xy = k \;\; (k \neq 0)

9第 9 页 · k 值对图象位置的影响

y=4/x 与 y=-4/x 的图象对比

k值的正负让双曲线跑向完全不同的象限，初学者最容易搞混的就是这步判断。

k>0：y=4/x

图象在第一、三象限
x与y同号
象限内y随x增大而减小
关于原点对称

k<0：y=-4/x

图象在第二、四象限
x与y异号
象限内y随x增大而增大
关于原点对称

k>0在第一三象限且y随x增大而减小；k<0在第二四象限且y随x增大而增大。

10第 10 页 · y=4/x 与 y=-4/x 的图象对比

k>0 时函数的性质

刚才看到 y=4/x 和 y=-4/x 一上一下、像照镜子。现在把镜头拉近，专门看 k>0 这一支——也就是 k 取正数的情况，把它内部的规律看仔细。

所在象限

k>0 时双曲线分布在第一象限和第三象限

象限内递减

在每个象限内部，y 随 x 增大而减小

关于原点对称

满足 f(-x)=-f(x)，是奇函数，绕原点旋转 180° 图象不变

固定预算买两件东西对应 →xy=k 中 x 与 y 的此消彼长

钱就这么多，A 上多花 B 上必然少花——x 变大 y 就得变小

xy = k \quad (k > 0)

11第 11 页 · k>0 时函数的性质

k<0 时函数的性质

上一页 k>0 时，y 随 x 增大而减小。现在把 k 换成负数——图象绕原点转了 180°，位置和单调性一起翻转。

图象位于第二、四象限

x>0 时 y<0 在第四象限；x<0 时 y>0 在第二象限

y 随 x 增大而增大

Q4 中 y 由 -∞ 趋近 0；Q2 中 y 由 0 趋近 +∞

整体关于原点对称

与 k>0 图象互为绕原点的 180° 旋转

账户里的欠款余额对应 →第四象限 y 随 x 增大而增大

余额是负数，但每还一笔就负得少一些——y 在数值上增大

y=\dfrac{k}{x},\quad k<0

12第 12 页 · k<0 时函数的性质

k>0 与 k<0 性质的对比总结

双曲线的单调性与 k 的符号关系图解

k>0 与 k<0 性质的对比总

双曲线的单调性与 k 的符号关系图解

13第 13 页 · k>0 与 k<0 性质的对比总结

每个象限内单调性的含义

上一节说 k>0 时 y 随 x 增大而减小——但前面为什么要加「在每个象限内」这个前提？把两支放在一起看，你会发现结论其实站不住脚。

整体不是单调函数

x 从负到正穿过 0 时 y 突然反向，整体出现先减后增或先增后减

单调性只限每支内

x<0 一支与 x>0 一支分开看，支内 y 才随 x 增大而单调变化

「每个象限内」不可省

去掉这个限定，结论就成假命题——x=0 把定义域切成两半

两座互不相连的滑梯对应 →反比例函数的两支曲线

每座都是一滑到底，但中间要步行绕上去，不能说整个游乐场一路下坡

14第 14 页 · 每个象限内单调性的含义

中心对称性（关于原点）

上页看到 y=4/x 的两支曲线在第一、第三象限——形状相同、方向相反，像绕原点转了 180°。这不是巧合，是代数结构决定的。

奇函数性质

f(-x) = -f(x)：把 x 换成 -x，函数值变号

点对称性

若(x,y)在图象上，则(-x,-y)也必在图象上

对称中心是原点

图象绕原点旋转 180° 后与自身完全重合

字母 N 或 Z对应 →反比例函数图象

字母 N/Z 绕中心旋转 180° 后与原形重合，图象绕原点转 180° 也与自身重合

f(-x) = \dfrac{k}{-x} = -\dfrac{k}{x} = -f(x)

15第 15 页 · 中心对称性（关于原点）

对称性证明的图解

任取曲线上一点，做中心对称变换，看新点是否仍落在曲线上。

图解渲染中…

a4：中心对称变换：(x,y)→(-x,-y)，即绕原点旋转半圈a7：负负得正，乘积不变，新点同样满足 y=k/x

16第 16 页 · 对称性证明的图解

轴对称性（关于 y=x 和 y=-x）

上一页我们证明了图象关于原点中心对称。但对称不止这一种——除了 180° 旋转，是不是还藏着两条镜像对称线？

关于 y=x 对称

若点 (a,b) 在图象上，则 (b,a) 也必然在

关于 y=-x 对称

若点 (a,b) 在图象上，则 (-b,-a) 也必然在

代数根据

xy=k 中 x、y 互换或同时取负，方程形式不变

几何观察

两条对称轴都过原点，与中心对称共享不动点

正方形的对称对应 →反比例函数图象的对称

正方形=180°旋转+两条对角线镜像；反比例图象=原点对称+y=x、y=-x 轴对称

xy = k \Leftrightarrow yx = k (a,b)\to(b,a)\ (y=x),\quad (a,b)\to(-b,-a)\ (y=-x)

17第 17 页 · 轴对称性（关于 y=x 和 y=-x）

利用反比例函数性质求值

已知点在图象上或已知 k，求解析式、算函数值或比较大小的标准流程。

代入求 k

已知点 (x₀, y₀) 在 y=k/x 上，代入得 k = x₀·y₀

写出解析式

k 一旦确定，y = k/x 的形式就完全锁定

判象限定单调

看 k 的正负，定图象所在象限及每支的单调性

代入或比较

求值直接代 x；比较大小先看是否同一支

18第 18 页 · 利用反比例函数性质求值

核心知识自测

点击作答

反比例函数 y = k/x 的图象过点 P(-3, 2)，下列结论正确的是？

19第 19 页 · 核心知识自测

课后思考

先独立想，再翻参考答案。每题都值得琢磨几分钟。

1为什么反比例函数 y = k/x 的图象既不与 x 轴相交，也不与 y 轴相交？

参考答案分母 x ≠ 0 决定图象上不存在 y = 0 的点；又 x 越接近 0，|y| 越大，图象永远贴近坐标轴但碰不到。

2y = 6/x 的图象上有点 A(2, 3)，点 B 与 A 关于原点对称，B 也在这个图象上吗？

参考答案B 的坐标是 (-2, -3)。代入 x = -2 得 y = -3，刚好成立。这正是图象关于原点对称的体现。

3把 y = k/x 改成 y = k/x²（k ≠ 0），图象还是双曲线吗？还关于原点对称吗？

参考答案不再是双曲线。y = k/x² 是偶函数，关于 y 轴对称而非关于原点对称——代入 -x 和 x 得到相同的 y。

20第 20 页 · 课后思考