课题学习 选择方案

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一次函数方案决策数学建模

课题学习 选择方案

学会用一次函数建模现实选择，把'哪个更划算'变成可计算的数学题

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一次函数方案决策数学建模

课题学习 选择方案

学会用一次函数建模现实选择，把'哪个更划算'变成可计算的数学题

1第 1 页 · 课题学习 选择方案

构建函数模型

买手机套餐时，营业员说月租 29 元含 200 分钟，超出每分钟 0.1 元——这种「分段计费」就是函数模型的典型应用。今天把它背后的构建思路拆清楚。

定义变量
设出 x 与 y，明确谁影响谁
建立关系式
根据题意把 y 用 x 表达出来
确定定义域
由实际情境决定 x 可取的取值范围
检验与应用
代入数据验证 y 是否合理
定制外卖套餐对应 →构建函数模型

选菜品→定搭配规则→限定可选范围→送餐验证

y={29,0≤x≤20029+0.1(x−200),x>200y = \begin{cases} 29, & 0 \le x \le 200 \\ 29 + 0.1(x-200), & x > 200 \end{cases}
2第 2 页 · 构建函数模型

利用函数图象进行比较分析

上一节我们为每个方案都建好了函数模型。但光有三个式子，怎么选？把它们画到同一坐标系里，优劣一眼就分出来了——这就是图象比较法。

同系叠加图象
把所有方案的函数图象画在同一坐标系中，让对比可视化
交点是分水岭
两图象的交点表示该处两方案效果相同，是切换方案的临界点
看图选区间
交点把定义域分成若干段，每段内位置更高的图象对应更优方案
结合实际取值
再结合实际问题中自变量的实际范围，才能锁定最终最优方案
地图上看多条路线对应 →同坐标系中的多条函数图象

起点终点一致，路径不同；交点对应走相同距离的分叉位置

f1(x)=f2(x)⇒x=x0（交点横坐标）f_1(x) = f_2(x) \Rightarrow x = x_0\text{（交点横坐标）}
3第 3 页 · 利用函数图象进行比较分析

数形结合思想

上一页我们把函数画成图象，立刻看出了哪种方案更优——其实这种'把数字变图形、把图形翻译回数字'的思维，就是数学中极其重要的一种思想方法：数形结合。

核心思路
用数量关系描述图形，或用图形直观表达数量关系，本质是双向翻译。
两条路径
以形助数（看图找规律）和以数助形（用算式定形状），两条路互为反向。
典型场景
函数单调性、方程的根、不等式解集、几何中的面积与最值问题。
优势互补
形给人直觉和全局感，数给人精确和可计算性；两边结合才能走得更远。
装修师傅对照图纸施工对应 →数形结合

图纸上的尺寸数字 = 代数式，房间空间形状 = 几何图形，师傅两边对着看才能把活做准。

4第 4 页 · 数形结合思想

正比例函数

上一节我们把方案比较转化为函数图象问题，其中最基础的一类模型就是正比例函数——单价×数量、速度×时间，本质都是 y=kx。

定义形式
形如 y = kx (k ≠ 0)，x 是自变量，k 是比例系数
图象特征
一条经过原点的直线，k>0 时上升，k<0 时下降
k 的几何意义
斜率表示 y 随 x 变化快慢，|k| 越大直线越陡
「正」比例的含义
x 扩大 n 倍，y 也扩大 n 倍，比值 y/x = k 恒定不变
工厂计件工资对应 →正比例函数 y=kx

没有底薪、没有补贴，干一件拿一件的钱——y 始终是 x 的固定 k 倍，没有任何附加项

y=kx(k≠0)y = kx \quad (k \neq 0)
5第 5 页 · 正比例函数

一次函数

上一节学过正比例函数 y=kx，它描述纯按比例变化。但现实中常多一笔固定支出——话费月租、打车起步价。这种「固定值+按比例变化」的关系，就是今天要讲的一次函数。

一般形式
y=kx+b，k≠0，b 为常数
k 斜率
k>0 图象上升，k<0 下降，|k| 越大越陡
b 截距
直线与 y 轴交点为 (0,b)，决定上下平移
与正比例函数
b=0 时退化为正比例函数，是其特殊情形
典型应用
固定费用 + 按量计费的现实模型
打车计费对应 →一次函数

起步价=b，每公里费=k，路程=x，总价=y

y=kx+b(k≠0)y = kx + b \quad (k \neq 0)
6第 6 页 · 一次函数

变量与函数关系

选套餐时月费随通话分钟数变化。分钟数一变，月费就唯一确定——这种『一变、另一变就跟着唯一确定』的关系，就是函数。

两个变量
同一变化过程中，同时在变的两个量，缺一不可
唯一对应
自变量每取一个值，因变量有且只有一个值对应
自变量与因变量
主动变化的是自变量，被动跟随的是因变量
定义域
自变量取值要有实际意义，让两个变量都成立
自动贩卖机对应 →函数对应关系

按下哪个键（x），掉出哪罐饮料（y）就唯一确定——按A3不会这次掉可乐下次掉雪碧

y=f(x)y = f(x)
7第 7 页 · 变量与函数关系

函数图象的增减性

画一次函数图象时，k>0 直线往右上爬、k<0 直线往右下掉——你早就体验过'x 变大，y 跟着怎么变'的感觉。今天把这种直觉抽成严格定义，叫增减性。它是把'看图说话'变成'言之有据'的那把钥匙。

增函数
当 x₁ < x₂ 时 f(x₁) < f(x₂)，图象从左向右一路上升
减函数
当 x₁ < x₂ 时 f(x₁) > f(x₂)，图象从左向右一路下降
区间性
增减性必须挂区间说，离开区间讲'单调'没有意义
典型应用
求函数最值、解不等式(组)、图象法比较大小——前页已经在悄悄用
爬楼梯 vs 下楼梯对应 →增函数 vs 减函数

每上一级台阶，你站得更高——x 在长，y 也在长，这正是增的日常体验

x1<x2 时{f(x1)<f(x2)⇒增f(x1)>f(x2)⇒减x_1 < x_2 \text{ 时}\begin{cases} f(x_1) < f(x_2) \Rightarrow \text{增} \\ f(x_1) > f(x_2) \Rightarrow \text{减} \end{cases}
8第 8 页 · 函数图象的增减性

函数建模

前面我们做过构建函数模型的具体题，比如把手机套餐变成两条一次函数。今天回到理论层：函数建模是什么、为什么能这样做、做的时候要注意什么。

定义
把实际问题中的变量关系，用解析式或图象表示出来
三要素
自变量、对应关系、定义域缺一不可，决定模型完整
两种形式
解析式便于精确计算，图象便于直观比较
典型应用
方案选择、最值求解、趋势预测三类场景
翻译官对应 →函数建模

把生活语言翻译成数学语言，再把数学结论翻译回决策

9第 9 页 · 函数建模

分段函数

用函数建模时，常遇到同一种关系在不同区间规则不同——比如出租车 3 公里内一个价，超出后又是另一种算法。分段函数正是为此而生。

分段定义
同一函数 x→y，在定义域的不同区间用不同表达式
分段点
临界 x 处必须明确归属，可能断开也可能连续
仍是一个函数
每个 x 仍然对应唯一 y，多段合起来是整体
图象分段绘制
每段画它对应表达式的局部图象，看衔接处
出租车分段计费对应 →分段函数

一段路程多套规则，同一自变量多段表达式

f(x)={10,0<x≤310+2(x−3),x>3f(x) = \begin{cases} 10, & 0 < x \leq 3 \\ 10+2(x-3), & x > 3 \end{cases}
10第 10 页 · 分段函数

本节要点

  • ✓建模三步走：抽变量、列解析式、画图象比较
  • ✓交点只是分界，方案选择看自变量落在哪段
  • ✓分段函数每个式子只适用于对应的取值范围
  • ✓数形结合：把生活决策翻译成图象语言来比较
延伸主题：二次函数在方案选择中的应用含参函数的方案优劣比较
11第 11 页 · 本节要点

课后思考

先合上屏幕想三分钟，再翻看参考答案对照思路。

1回顾整个课题学习过程，为什么'画图象比较'往往比'直接算代数式'更适合做方案选择？

参考答案图象把'变化趋势'与'转折点'一眼可见，代数式要逐点代入；数形结合同时看到'谁便宜'和'何时切换'。

2如果两种方案的费用都是分段函数，图象会变成什么样子？还能用数形结合快速判断优劣吗？

参考答案分段函数图象是几条线段拼出的折线，转折点恰好对应方案优劣切换的临界值；仍用看交点、看上下的数形方法即可。

3如果待选方案不止两个（三种甚至更多），数形结合还适用吗？操作上会有什么变化？

参考答案仍适用——每两条曲线两两比较，图象上呈现一组交点；方案越多临界点越密，关键是排序后逐段判断。

12第 12 页 · 课后思考