数学大学
多元函数的条件极值
微积分——多元函数与重积分 · 第二章 多元函数微分学应用
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多元函数的条件极值
微积分——多元函数与重积分 · 第二章 多元函数微分学应用
二元函数条件极值问题的提
条件极值：在约束 φ(x,y)=0 的限制下求 f 的最值——不是全平面自由找。
约束
自变量必须落在约束曲线上
与无条件极值之别
比较对象是约束曲线上的点
三元函数条件极值问题的提
三元函数带一个约束：在空间曲面 φ=0 上求 f 的最值。
几何
约束是曲面，可行集降为二维
自由度
n 元 m 约束剩 n−m 个自由度
三元函数条件极值问题的提
两个约束同时限制：可行集被压成空间曲线。
双约束
φ=0 与 ψ=0 的交线为可行集
自由度
三变量两约束剩一个自由度
条件极值问题的直接解法
直接解法：由约束解出一个变量代入目标，化条件极值为无条件极值。
代入消元
解出 y(x) 代入 f(x,y(x))
局限
约束解不出显式表达时失效
条件极值问题的Lagrange解
拉格朗日乘数法：构造 L=f+λφ，令梯度为零与约束联立求解。
方程组
f_x=λφ_x、f_y=λφ_y 加约束
λ 的意义
约束的影子价格：放松约束的边际收益
条件极值问题举例
经典例题：周长定面积最大的矩形——正方形，拉格朗日一步到位。
建模
最大化 xy，约束 x+y=定值
对称性结论
对称问题最优解常取对称位置
多元函数在有界闭域上的最
闭区域最值三步：内部驻点值 + 边界条件极值 + 比较大小。
内部
求无条件驻点并计算函数值
边界
边界用拉格朗日或代入法求最值
最小二乘法
最小二乘拟合：最小化残差平方和，本质是一个无约束极值问题。
目标
Σ(观测 − 拟合值)² 最小
求解
对参数求偏导令其为零得正规方程
本节要点
- ✓条件极值：约束下的最值
- ✓直接法消元，拉格朗日乘数法通用
- ✓λ 是约束放松的影子价格
- ✓最小二乘是二次目标的无约束极值
延伸主题：用拉格朗日法解一道应用题推导线性最小二乘正规方程
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1拉格朗日乘数法为什么「对目标与约束的梯度并列」就能找到条件极值？
参考答案约束曲面上条件极值处，目标函数的梯度必须垂直于可行方向，而约束曲面上一切可行方向都垂直于约束梯度——两梯度平行，即相差一个倍数 λ。几何条件直接翻译成方程组。
2什么时候直接消元更划算，什么时候必须上拉格朗日？
参考答案约束能解出显式表达式且代入后不复杂时，消元最直观；约束隐式、多维或对称性强时，拉格朗日不用解出关系、保持对称性，反而更简洁。先看约束可解性再选方法。
3λ（拉格朗日乘数）在实际问题中有什么解释？
参考答案λ 度量约束放松一单位时目标函数的改善量，经济学中称影子价格。例如预算约束下 λ 表示多一块钱能带来的最大效用增量——它让「约束的代价」变得可量化。