数学大学
空间解析几何
多元微积分（先修课） · 第一章 空间解析几何与向量代数
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空间解析几何
多元微积分（先修课） · 第一章 空间解析几何与向量代数
空间直线与曲线方程
空间直线用点向式或两平面交线表示：方向向量是直线的灵魂。
点向式
过点、沿方向向量，参数式最通用
交线式
两个平面方程联立即一条直线
空间曲面方程
常见曲面三大类：旋转曲面、柱面、二次曲面，各自有标准方程形态。
旋转曲面
平面曲线绕轴旋转生成
二次曲面
球面、椭球面、抛物面、双曲面
柱坐标系与球坐标系
柱坐标与球坐标是空间的「极坐标」：按图形对称性选用。
柱坐标
ρ、θ、z，适合绕轴旋转的图形
球坐标
r、φ、θ，适合球形与锥形区域
本节要点
- ✓直线抓方向向量
- ✓曲面认三类标准形态
- ✓柱坐标球坐标按对称性选
延伸主题：化一条直线为参数式识别五种二次曲面
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么同一图形在不同坐标系下方程繁简差别巨大？
参考答案方程的繁简取决于图形与坐标系的匹配程度：绕轴旋转的图形在柱坐标下天然简单，球对称图形在球坐标下最省力。选坐标系就是选「顺着对称性」的描述方式。
2柱面方程为什么常常「缺一个变量」？
参考答案柱面沿某条母线方向平移不变，方程中不含该方向的变量。例如 x²+y²=1 不含 z，表示沿 z 轴无限延伸的圆柱面。缺变量即是该方向自由。
3二次曲面识别为什么常从「截痕」入手？
参考答案用一组平行平面截曲面，观察截线形状随位置的变化，能拼出曲面的整体形态。截痕法把抽象的三元方程翻译成直观的平面曲线变化序列。