§3.1 条件平差原理

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测量平差条件方程最小二乘

条件平差原理

搞懂条件方程如何从多余观测中构造，并看清最优估计背后的数学逻辑

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测量平差条件方程最小二乘

条件平差原理

搞懂条件方程如何从多余观测中构造，并看清最优估计背后的数学逻辑

1第 1 页 · 条件平差原理

多余观测与矛盾方程

上一节我们看清条件平差的整体思路。这一节回到一个更具体的问题：条件方程到底从哪儿冒出来的？答案藏在一个词里——多余观测。

必要观测 u
唯一确定未知数所需的最少观测个数，由几何或函数独立性决定
多余观测 r
r = n − u，超出必要量的那部分观测，是平差的前提
观测含误差
每个观测值都带随机误差，不会严格满足理论几何关系
矛盾方程
把「理论上应满足、实际却差一个改正数」的关系写成等式
条件方程个数
等于多余观测数 r，也就是条件平差的自由度
三角形的三个内角对应 →多余观测产生矛盾

2 个角就定三角形，你却测 3 个；第 3 角应等于 180° 减前两角和，实际却差几秒——这就是矛盾

r=n−ur = n - u
2第 2 页 · 多余观测与矛盾方程

条件平差的本质是什么

上一页我们看到了多余观测会产生矛盾方程——观测值之间会"打架"。那矛盾摆在面前，条件平差到底要做什么？一句话：在满足所有约束的前提下，找出最接近真值的那组观测值估计。

核心矛盾
多余观测值之间不闭合、不一致
约束方程
所有观测值必须满足的几何或物理条件
最优目标
在所有满足约束的解中，使残差加权平方和最小
调解互相冲突的证词对应 →条件平差求最优估计

证词矛盾=多余观测打架；调解员找既不互相矛盾（满足条件方程）、又每人改动最小（VTPV最小）的方案

{BV^+W=0VTPV=min⁡\begin{cases} B\hat{V} + W = 0 \\ V^TPV = \min \end{cases}
3第 3 页 · 条件平差的本质是什么

条件方程的三种形式

上页说到，平差的本质是写出条件方程去求改正数。但'条件方程怎么写'其实有三种等价形式——从最自然的写法到能拿去解算的形式，每一步都在变形。

平差值条件方程
用平差值L̂直接表达几何/物理约束，最贴近题意。例：三角形内角和L̂₁+L̂₂+L̂₃=180°。
观测值条件方程
把L̂=L+V代入展开，L与V并列出现。说明这条约束建立在观测值之上。
改正数条件方程
A·V+W=0，W=A·L为闭合差。只有V未知，是真正拿去求解的形式。
三种形式等价
描述的是同一条约束，互推只是代数变形，几何意义从头到尾不变。
解方程的三步流程对应 →条件方程的三种形式

设未知数列等式（含L̂）→ 代入已知数据（含L）→ 移项整理（只剩V）

$$A\hat{L}=0\;\to\;A(L+V)=0\;\to\;AV+W=0,\;W=AL$$
4第 4 页 · 条件方程的三种形式

三类条件方程的对应关系

从几何闭合到可解方程组，每一步都是严格等价变换；箭头方向即推导顺序。

图解渲染中…
a2：f(L̂)=0：平差值满足的闭合条件a3：AV+W=0：仅含改正数V的线性形式a4：由ATPA法化得到的标准方程组
5第 5 页 · 三类条件方程的对应关系

函数模型：条件方程的矩阵表达

上一页我们看到三类条件方程各有各的样子——但条件多到几十条时，每条单独写一行显然不行。这一页做一件事：把它们压成一个矩阵。

整体形式
n 个独立方程按行叠起来，写成 A·V + W = 0 这个矩阵等式
A 是系数矩阵
行=一个条件，列=一个观测；aᵢⱼ 表示第 j 个观测在第 i 个条件里的系数
V 是改正数向量
把每个观测的改正 vᵢ 排成一列，n 行 1 列
W 是闭合差向量
把每个方程的闭合差 wᵢ 排成一列，反映条件方程「差多少才为 0」
算总账对不上对应 →A·V + W = 0

W=总账与账面差多少钱；A=每笔账在哪个科目下；V=每笔账需调整多少

$$A_{r \times n} \cdot V_{n \times 1} + W_{r \times 1} = 0$$
6第 6 页 · 函数模型：条件方程的矩阵表达

随机模型：权与协因数阵

函数模型只描述了观测与参数的几何关系，还得回答'各观测精度不同怎么办'——随机模型登场。

权与权阵 P
精度越高，权越大；反映观测值在平差中的信任程度
协因数阵 Q
权阵的逆矩阵 Q = P⁻¹，用于书写和运算的便利
常用定权方式
等精度取 1，按距离倒数定权，或按中误差倒数定权
在平差中的作用
决定 VᵀPV=min 中各改正数的相对取舍
考试各科占分比重对应 →观测值的权

分高的科目对总评拉动大，权大的观测对结果牵引也大

$P_i = \dfrac{\sigma_0^2}{\sigma_i^2}$
7第 7 页 · 随机模型：权与协因数阵

最小二乘准则在条件平差中的应用

前面我们写出条件方程 A·V+W=0,也给每个观测配了权阵 P。矛盾方程无法同时满足,平差要在『改多少』之间做取舍——靠什么标准?这就是最小二乘准则登场的地方。

平差准则
V^T·P·V 取极小:改正数加权平方和最小
约束条件
AV+W=0 强制成立,改正数不能破坏几何/物理条件
求解方法
拉格朗日乘数法:构造辅助函数化为无条件极值
解的性质
P 正定 ⇒ 目标函数严格凸 ⇒ 极小即最小且全局唯一
三人目测同一棵树高对应 →最小二乘求最或然值

每人都有错,准则找最'公正'的最终值:精度高(权大)拉得少,精度低(权小)改得多

min⁡  VTPV    s.t.    AV+W=0,Φ=VTPV−2KT(AV+W)\min\; V^{T}PV \;\;\text{s.t.}\;\; AV+W=0,\quad \Phi = V^{T}PV - 2K^{T}(AV+W)
8第 8 页 · 最小二乘准则在条件平差中的应用

法方程的推导过程

从条件方程与最小二乘准则出发，沿箭头逐步推导出法方程。

图解渲染中…
a1：A·V + W = 0，几何或物理约束a2：V^T·P·V 极小，权阵 P 已给a3：Φ = V^TPV - 2K^T(AV+W)a8：A·P⁻¹·A^T·K + W = 0 即法方程
9第 9 页 · 法方程的推导过程

法方程的结构与特点

上一页把法方程 N_{aa}·K + W = 0 推导出来了，但左边那块 N_{aa} 到底什么来头？为什么总能保证 K 有唯一解？这一页拆开它的内部结构看个明白。

N_{aa} 的构造
N_{aa} = A P A^T，由条件方程系数 A 与权阵 P 夹乘而成
对称性
(A P A^T)^T = A P A^T；因 P 为对称对角阵，转置回到自身
正定性
P 正定 + A 列满秩 ⟹ N_{aa} 正定，所有特征值 > 0
唯一可解
正定必可逆，故 K = -N_{aa}^{-1} W 始终有且仅有一解
弹簧秤的弹簧对应 →N_{aa} 的对称正定性

对称=弹簧左右平衡不偏；正定=刚度足、不软塌；挂上重物（W）后位移（K）才能唯一读出

Naa=APAT,K=−Naa−1WN_{aa}=APA^{T},\quad K=-N_{aa}^{-1}W
10第 10 页 · 法方程的结构与特点

条件平差五步计算流程

从列条件方程到求改正数，五步完成条件平差全部计算。

1
列条件方程
由几何或物理约束，写出 r 个独立的 AV+W=0
2
定权阵 P
确定观测值权阵，刻画各观测精度差异
3
建法方程
由条件系数阵 A 和权阵 P 构造 NK+U=0
4
解 K
求解法方程得联系数 K，桥接条件与改正数
5
算 V 与 X
回代求 V=PK，再用 X̂=L+V 得平差值
11第 11 页 · 条件平差五步计算流程

改正数V的计算与平差值X的求取

上一步我们从法方程解出了联系数K。但K只是中间桥梁——真正要交付给外业的是每条观测的改正数V和平差值X̂。这一页讲怎么从K走到它们。

求K是第一步
由法方程 ATPAK + ATPL = 0 解出K
改正数公式
V = -P^{-1}·A^T·K，权阵控制各观测的分摊量
平差值公式
X̂ = L + V，把改正数加回观测值得结果
固定计算顺序
先解K、再代V、最后求X̂，三步不能颠倒
钢琴调音对应 →改正数与平差值求取

初张琴弦是L，微调旋钮是V，调准后的音是X̂

V=−P−1ATK,X^=L+VV = -P^{-1}A^{T}K,\quad \hat{X} = L + V
12第 12 页 · 改正数V的计算与平差值X的求取

精度评定：单位权中误差

我们已经求出改正数 V，知道每条观测差了多少。但「差多少算大」要有一把统一的尺子——单位权中误差就是这把尺子。

V^T P V 的含义
加权残差平方和，最小二乘下被最小化，代表总矛盾量
多余观测数 r
独立检验的次数，r = n − t，是公式的分母，决定自由度
σ̂₀ 的计算
用最小二乘解出的 V 代入，整体反映平差精度水平
无偏估计
数学上可证 E(σ̂₀²) = σ₀²，是单位权方差的可靠估计
同一把尺子量同一段距离多次对应 →单位权中误差 σ̂₀

每次读数有微小差异，σ̂₀ 是尺子噪声的统一度量，分母 r 是独立差异数

σ^0=VTPVr,r=n−t\hat{\sigma}_0 = \sqrt{\dfrac{V^T P V}{r}}\quad,\quad r = n - t
13第 13 页 · 精度评定：单位权中误差

水准网的几何图形与数据

沿箭头方向读：4 个水准点构成闭合环，每条边标注路线长 L 和观测高差 h。

图解渲染中…
A：圆圈 = 水准点（A/B/C/D）B：箭头 = 高差 h 的观测方向，符号表升降
14第 14 页 · 水准网的几何图形与数据

水准网的条件方程建立

水准网条件方程的建立，从几何图形分析到闭合差计算，环环相扣。

1
绘制网形图
标出已知高程点和各条水准观测路线
2
统计观测数
总观测数n减去必要观测数t得多余观测数r
3
确定条件数
独立闭合路线数等于多余观测数r，即条件方程个数
4
列出条件方程
每条独立闭合路线的高程增量代数和等于零
5
计算闭合差
将观测高差代入条件方程右端，求出不符值w
15第 15 页 · 水准网的条件方程建立

高程闭合差的计算方法

上一页我们列出了水准网的条件方程，但每个方程右边还有一个具体数值 W——它怎么算？算出来多大才算「合格」？这一页讲这两件事。

闭合差定义
高程推算值与已知值之差，反映观测误差的累积结果
两类路线公式
附合路线 W=H_起+Σh−H_终；闭合路线 W=Σh（理论为 0）
W≠0 的含义
说明观测存在误差，但 W 是总和，不能定位哪一段出错
容许闭合差
按等级规定限值，如四等水准 ±20√L mm（L 为公里数）
绕闭合路线走回原点对应 →水准闭合差 W

出发点高程已知，沿路累加每段高差，返回应等于出发值；不吻合就是 W

W=H起+∑h−H终W = H_{起} + \sum h - H_{终}
16第 16 页 · 高程闭合差的计算方法

水准网条件平差的代码实现

python

用 Python 把条件平差五步流程跑一遍：从闭合差到改正数，再到精度评定。

代码高亮加载中…

A 是条件方程骨架，W 是闭合差；NAA = A·P⁻¹·A^T 把权和条件耦合，求 K 反算改正数 V，最后 VᵀPV/r 评定精度。

17第 17 页 · 水准网条件平差的代码实现

水准网算例：完整求解过程

水准网条件平差的完整演算流程：从条件方程出发，到平差高程与精度评定，全程六步走完。

1
矩阵化条件方程
把 r 个标量条件写成 A·V + W = 0 的紧凑矩阵形式
2
确定权阵 P
水准网按路线长度定权：P = diag(1/Lᵢ)，距离越短权越大
3
建立法方程
由 VᵀPV = min 推导，得 A·P⁻¹·Aᵀ·K + W = 0
4
求解 K
解线性方程组 N_K·K + W = 0，其中 N_K = A·P⁻¹·Aᵀ
5
求改正数 V
代入 V = P⁻¹·Aᵀ·K，算出每段高差的具体修正量
6
平差值与精度
X̂ = X + V，并算单位权中误差 σ̂₀ 评定成果精度
18第 18 页 · 水准网算例：完整求解过程

条件平差原理要点回顾

  • ✓条件平差由约束驱动，参数平差由函数驱动，二者对偶但非等价
  • ✓多余观测数r决定条件方程个数与法方程阶数
  • ✓VᵀPV=min下V唯一，AV=0作为约束天然成立
  • ✓闭合差即W项，是矛盾方程的几何直观读数
  • ✓σ₀=√(VᵀPV/r)统一不同权值等级的精度评定
延伸主题：附有参数的条件平差条件平差的统计性质秩亏自由网平差处理
19第 19 页 · 条件平差原理要点回顾

自测：条件平差核心问题

点击作答

条件平差中，条件方程的个数等于什么？

20第 20 页 · 自测：条件平差核心问题

课后思考题

3个开放性问题：适用场景选择、公式推导、误差传播的深入探讨

课后思考题
3个开放性问题：适用场景选择、公式推导、误差传播的深入探讨
21第 21 页 · 课后思考题