数学大学
极坐标系及一般坐标系
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
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数学大学
极坐标系及一般坐标系
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
极坐标系
极坐标用距离与角度定位平面上的点：适合圆形与放射状图形。
坐标
(r,θ)：r 为到原点距离，θ 为方位角
换算
x=r·cosθ，y=r·sinθ
一般坐标系
一般坐标变换：用两组函数把 uv 平面映到 xy 平面。
变换对
x=x(u,v)，y=y(u,v) 一一对应
区域变形
复杂区域映成 uv 平面上的矩形
二重积分的一般坐标变换公
换元公式带雅可比行列式：dxdy = |J|·dudv。
雅可比
J=∂(x,y)/∂(u,v) 的行列式
作用
把难积区域与函数一并简化
二重积分的计算：极坐标系
极坐标下二重积分化累次：先 r 后 θ，限由区域的圆弧与射线给出。
定限
θ 范围定扇角，r 从内界到外界
适用
圆域、环域、被积函数含 x²+y²
二重积分的计算：极坐标系
例题示范：圆域上的积分经极坐标化为对 r 与 θ 的两次定积分。
典型
∫∫e^{−x²−y²} 化为 ∫e^{−r²}·r dr
关键
多出的 r 恰好配出易积的复合函数
二重积分的计算：一般坐标
一般换元例题：平行四边形边界区域经线性换元化为矩形。
选元
令 u、v 为两族边界线的表达式
核验
雅可比在区域内不变号且非零
本节要点
- ✓极坐标 (r,θ) 化圆域为矩形
- ✓换元必带雅可比 |J|
- ✓极坐标下被积函数常配出易积结构
延伸主题：用极坐标算高斯积分做一次线性换元例题
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1极坐标面积元为什么是 r dr dθ？
参考答案半径方向移动 dr、角度方向移动 r·dθ 的小四边形面积近似两者相乘——角度方向的弧长与 r 成正比。这个 r 是坐标变换固有的伸缩因子，丢了它结果必错。
2极坐标下角度 θ 的范围如何确定？
参考答案从原点向区域引射线，射线扫过的角度范围即 θ 的范围；区域边界若是圆弧，r 的限就是到该弧的两个距离。原点在区域内部时 θ 铺满 0 到 2π。
3什么信号提示应该做一般坐标变换而不是极坐标？
参考答案边界线是斜的直线族、平行四边形或特定曲线族（如 xy=c、x+y=c）时，取边界表达式为 u、v 即把区域变成矩形。经验法则：让边界方程成为新坐标。