整式的乘法
看清从运算律到单项式乘法的完整推导路径
按 空格/→ 演示下一步
全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放
整式的乘法
看清从运算律到单项式乘法的完整推导路径
乘法交换律与结合律
算 2×3 时，谁在前谁在后都无所谓，这是直觉。换成 x、y 后呢？今天把「交换」和「结合」用字母写下来，让它从经验变成定律，整式运算的每一步才有迹可循。
3 行 ×5 列的格子数，等于 5 行 ×3 列的格子数
运算律在整式中的应用
从 (a+b)c 看分配律如何把「整体相乘」变成「分别相乘再相加」。
同底数幂相乘的规则
上一节我们用交换律、结合律简化了整式乘法。遇到 2³ × 2² 这样的幂运算，能不能再用运算律化简？这就引出同底数幂相乘。
商品款式（底数）不变，件数（指数）相加得到总数
推导过程：为什么指数要相加
用乘法的意义，把 a³·a² 展开成最朴素的连乘形式。
同底数幂乘法练习
计算 y³ · y⁵，按同底数幂相乘的规则，正确的结果是？
幂的乘方规则
上一节刚证完：同底数幂相乘 aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ，指数相加。现在把 aᵐ 当作一个整体，外面再套一层指数 n，写成 (aᵐ)ⁿ，结果会变成什么？
a 像一颗糖，aᵐ 是装了 m 颗糖的 1 箱，(aᵐ)ⁿ 是 n 箱同样的糖，总共 m·n 颗
推导过程：为什么是指数相乘
拆开 (a²)³ 看一看：幂的乘方背后就是同底数幂的反复相乘。
积的乘方规则
上一页我们把幂再套一层幂，指数相乘。现在情况变了：底数不是单个字母，而是 a 和 b 乘起来的积。比如 (ab)³，该怎么算？
每包含 a 块红 b 块蓝，n 份共红 aⁿ 块、蓝 bⁿ 块
推导过程：分配律视角
把 (ab)³ 还原为连乘，再用运算律拆出 a³·b³。
三种幂运算辨析
三种幂运算里最容易混的是'指数相加'和'指数相乘'——结构不同，处理方式就不同。
- 结构：几个幂之间用乘号连接
- 操作：底数不变，指数相加
- 识别：aᵐ · aⁿ 形式，底数相同
- 例子：a³ · a² = a⁵
- 结构：一个幂外面再套一层指数
- 操作：底数不变，指数相乘
- 识别：(aᵐ)ⁿ 形式，括号外有指数
- 例子：(a³)² = a⁶
单项式乘法法则
前几页我们分别搞定了同底数幂相乘（指数相加）和系数运算。单项式相乘就是这两条规则分头跑——系数走系数，字母走字母，互不干扰。
人数相乘，兵种合并；同种兵数量累加，不同兵种全保留
单项式乘法完整步骤
把 3a²b · 5ab³ 拆成系数与字母，依次相乘再合并成一整个单项式。
单项式乘法自测
计算 3a²b × (−4ab³)，结果是多少？
课后思考
先独立思考，再翻看参考答案。三个问题层层递进，从规则本质走向更高视角。
参考答案同底数幂本质是相同因子的连乘，再乘一次就多一个因子，所以指数加 1。乘法是叠加因子个数的过程。
参考答案依然成立。底数正负或是否为分数，不影响「乘一次多一个因子」这一逻辑。例：(-2)³·(-2)² = (-2)⁵ = -32。
参考答案可以。三条规则本质都是「指数按运算结构分配」：乘法把指数分给加法，乘方把指数分给乘法。