平差的核心是解法方程，但工程观测很少一次性到齐：隧道单向掘进一段、桥梁悬臂施工一段，每完成一段就送来一批新数据。能不能让计算也跟着分段推进？这就是序贯平差的出发点。

经典平差每加一批新数据都得从头全部解算一遍——观测源源不断涌来时，这既不现实也撑不住。序贯平差正是为破解这种困境而生。

它们都估计同一组参数，混淆点在于数据何时进入计算，以及已得结果能否复用。

上一页我们看到整体平差要重算、序贯平差能递推。本页拆开看：当一批新观测值到来时，这两条路分别怎么走，为什么递推的结果和一次性平差完全等价。

前页讲了整体和序贯的差别，那「分批」到底怎么分？诀窍只有一句——先做第一批，把它当第二批的起点。

从整体平差出发，把两批观测值的贡献拆开。

把已知的旧法方程解作为起点，对叠加后的整体法方程做分离与消元，最终推出改正数的递推式。

左侧两个输入汇成右侧三步递推：协因数阵、参数改正数、方差因子，输出本轮完整结果。

递推公式能算，但和一把算的整体平差是否真等号？这页绕过 Sherman-Morrison，只从 x̂₁ 的定义出发，一步恒等变形把整体解拆成「老解 + 修正」——两套路径殊途同归。

前面我们推导出序贯平差的递推公式并证明了新旧结果一致。但算出来就能直接用吗？测绘员拿到坐标后还会追问：这个点位到底有多准？误差范围多少？——这就是精度评定要回答的问题。

单位权方差 σ̂²₀ 随观测累加而更新，核心是残差平方和与多余观测数的代数累加。

从递推解出发，用误差传播律一步步推出参数协方差阵怎么随观测更新。

从已有平差结果出发，看新增观测如何逐级更新三项精度指标。

前面推完了递推公式，又证了它和整体平差等价——看起来都对。但到底怎么落地？我们拿最简单的水准网走一遍。

完整序贯平差四步走：先拆数据，再逐批吸收，最后核对结果。

实例一用单期水准网走通了序贯平差。但它真正的主战场在变形监测——大坝、桥梁、滑坡体每隔几周就要重测一遍，每期都跑整体平差代价太高。

多期监测数据的递推更新关系图

序贯平差的核心是『递推更新』——每加入一批新观测，只对本期小矩阵求逆，避免反复重解整体法方程。

递推结构避免每期重解整体法方程：首期经典最小二乘定初值，之后每期仅需计算小矩阵 K（增益），用新息 l-Ax 修正参数 x 与协因数阵 Qx。

• ✓本质：用旧平差作先验，新观测作增量，逐期递推更新
• ✓核心：新参数=旧参数+增益×新残差，与卡尔曼同构
• ✓等价性：序贯结果与整体平差在最小二乘下严格一致
• ✓精度跟踪：单位权方差与协方差阵同步递推
• ✓工程优势：适合变形监测、实时定位、分期建设

序贯平差中，增益矩阵 K 将「新观测残差」映射为对旧估值的修正量。关于 K 的本质，理解正确的是：

先独立思考，再对照参考答案——三个层次：回顾、应用、迁移。