α衰变

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量子隧穿核物理势垒穿透半衰期

α衰变

从量子隧穿到盖革-努塔耳定律,掌握衰变能与半衰期的定量关系

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量子隧穿核物理势垒穿透半衰期

α衰变

从量子隧穿到盖革-努塔耳定律,掌握衰变能与半衰期的定量关系

1第 1 页 · α衰变

什么是α衰变

我们说α衰变是重核'吐出α粒子'的过程——但'吐出'到底意味着什么？母核、粒子、子核在这一过程里分别扮演什么角色？

母核
A较大(>150)的不稳定重核,典型如²³⁸U、²³²Th
α粒子
即⁴He核:2质子+2中子,结合极其紧密
子核
衰变后的新核,A减4、Z减2(守恒)
自发性
无需外力触发,源于量子隧穿效应
装得过满的气球对应 →重核α衰变

内压过大时自动崩出一小块橡胶,整体变小变稳

ZAX→Z−2A−4Y+24He^A_Z\text{X} \to ^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + ^4_2\text{He}
2第 2 页 · 什么是α衰变

α粒子的本质

上一页我们说，α衰变是重核甩出一颗「子弹」。那这颗子弹到底是什么做的？为什么重核偏偏偏爱把它踢出去，而不是别的粒子？

α粒子 = 氦-4核
氦-4原子剥掉2个电子后剩下的部分
2个质子 + 2个中子
对应氦-4核：Z=2，A=4
「双幻数」极度稳定
2质子满第一质子壳，2中子满第一中子壳，结合异常牢固
带+2e电荷，质量≈4u
比电子重约7300倍，出射速度可达光速的5%~7%
氦原子（惰性气体）对应 →α粒子（核子满壳层）

氦原子第一电子层满2个极稳定；α粒子第一壳层满2质子+2中子也极稳定

3第 3 页 · α粒子的本质

α衰变的核反应方程

从左侧母核出发，箭头标示质量数与质子数的变化规律，右侧产物分出子核与α粒子。

图解渲染中…
a1：母核：质量数A，质子数Za2：子核：质量数A-4，质子数Z-2a3：α粒子即⁴₂He，质量数4质子数2
4第 4 页 · α衰变的核反应方程

α衰变的典型特征

上页说α粒子就是氦核：质量是质子的4倍，带+2电荷。这个「又重又带正电」的身份，决定了它在物质中穿行时三个非常极端的特征——

射程极短
能量~5 MeV的α粒子，在标准空气中只能跑几厘米，一张纸就能挡住
电离极强
+2电荷与原子核外电子强力拉扯，沿途把大量原子电离，比β粒子强约百倍
穿透极弱
穿不过皮肤角质层，甚至一张纸；外照射危害小，内照射却极其危险
大铅球滚过草地对应 →α粒子穿过物质

铅球重，碾草就把草压倒（强电离），自身也快速减速、几米就停（射程短）；α粒子同理

5第 5 页 · α衰变的典型特征

衰变能与Q值

反应方程写下了母核裂成什么，但没回答凭什么能自发——那一点质量差额，就是全部秘密。

质量亏损
母核质量比子核加α粒子质量之和略大，差值就是衰变能的全部来源
Q值定义
Q = (m母 − m子 − mα)c²；Q>0 才是α衰变自发发生的必要条件
动量分配
母核近似静止，α更轻分得多；E_α ≈ Q · A子 / (A子 + 4)
能量量级
重核α衰变Q值通常 2–10 MeV，α粒子带走绝大部分动能
石头从山顶滚下对应 →α粒子从母核飞出

落差对应质量亏损；落差越大石头越快，质量越大α粒子越快

Q=(mX−mY−mα) c2Q = (m_{X} - m_{Y} - m_{\alpha})\,c^{2}
6第 6 页 · 衰变能与Q值

Q值的计算方法

算出Q值有两条等价公式，掌握后随便走哪条路。

1
列写方程
写出母核→子核+α的反应式，作为起点
2
核质量法
Q=[m母−m子−mα]c²，最原始的定义
3
原子质量法
查表方便，代价是要带上电子质量项
4
电子项抵消
Z=(Z−2)+2电子项展开后自动相消
7第 7 页 · Q值的计算方法

衰变能在产物间的分配

α粒子与子核的动能反比分配关系

衰变能在产物间的分配
α粒子与子核的动能反比分配关系
8第 8 页 · 衰变能在产物间的分配

不同核素的α衰变能

镭-226和铀-238都能α衰变，但Q值与半衰期差异巨大——衰变能越低，核反而越稳定？

镭-226
  • Q值约4.87 MeV，α粒子携带的能量更大
  • 半衰期约1600年，居里夫人最初分离的放射性元素
  • 衰变母核Z=88 A=226，属重核区中等质量端
  • 衰变能高→势垒穿透概率大→衰变更快更易发生
铀-238
  • Q值约4.27 MeV，α粒子携带的能量相对较小
  • 半衰期约44.7亿年，几乎与地球同龄
  • 衰变母核Z=92 A=238，属重核区高质量端
  • 衰变能低→势垒穿透概率小→衰变极慢极难发生
衰变能高低与半衰期长短成反比——Q值越大核越不稳定，Q值越小核反而越稳定，这是量子隧穿概率的体现。
9第 9 页 · 不同核素的α衰变能

α粒子的能量特征

上页我们看到不同核素的衰变能Q可以相差悬殊。但具体到从核里射出的那颗α粒子本身——它的能量遵循什么规律？两个关键词：一个是范围，一个是形态。

能量区间1.8~8.8 MeV
绝大多数α粒子动能落在这个范围内，比β粒子能量高出近一个量级
能谱离散分布
同一核素发出的α粒子只有几个特定能量值，谱图上是分立尖峰而非连续带
离散源于量子能级
原子核能级是量子化的，α粒子只在分立能级间跃迁，所以能量取值不连续
钢琴的固定琴键对应 →α粒子离散能谱

按下琴键只能弹出固定音高，不能滑出中间音——α粒子能量被核能级钉在特定值上

10第 10 页 · α粒子的能量特征

原子核能级图基础

能级图把核的离散能量画成横线，纵向代表能量高低。先看基本元素，再看α衰变怎么用上它。

图解渲染中…
a3：每条横线对应核的一个量子化能量状态a7：母核一个能级可跃迁到子核多个能级a8：不同子核能级对应不同动能的α粒子
11第 11 页 · 原子核能级图基础

α衰变与能级跃迁

上页画出了子核的能级图——像一栋有几层楼的建筑。α衰变时，父核从顶层往下跳，子核不一定只回到一楼——它可能停在二楼、三楼。停在哪一层，决定α粒子带走多少能量。

多路径跃迁
父核（通常基态）可衰变到子核不同能级，形成多条并存路径
能量一一对应
子核激发能E*越大，α粒子动能Eα越小，差值恰好等于E*
α能谱呈线状
实验测得α粒子能量是分立的离散值（几条分立线），非连续分布
精细结构意义
不同分支α能量之差=子核激发能差，这是核能级存在的直接证据
弹珠落入不同凹槽对应 →α衰变的多路径跃迁

势能固定（Q值），弹珠落进哪条凹槽（子核能级）决定它剩余的动能（α粒子能量）

Eα=MDMα+MD(Q−E∗)E_\alpha = \frac{M_D}{M_\alpha + M_D}\left(Q - E^*\right)
12第 12 页 · α衰变与能级跃迁

基态→基态衰变

沿箭头从左往右读：母核一分为二，能量在末端如何汇聚？

图解渲染中…
A：母核处于基态，无激发能储存D：子核也停在基态，不发射γE：Q值全部转化为α粒子动能
13第 13 页 · 基态→基态衰变

基态→激发态衰变

从同一母核出发有两条衰变路径：上支到子核基态，下支到激发态再退激。

图解渲染中…
A：路径①=上页基态→基态，Q全给α动能B：路径②子核停在激发态，α少拿一份能量aHi：路径①的α，分到Q的最多份额aLo：路径②的α，少掉的能量即激发能E*
14第 14 页 · 基态→激发态衰变

多组α粒子的成因

上页讲到跃迁到激发态会让α粒子能量变低。但子核能级不止一个——如果同时存在多条跃迁通道，α粒子自然就分成了多群。

母核初态固定
通常从同一能级出发，总衰变能Q是定值
子核能级众多
基态之外还有多个激发态可供跃入
通道对应粒子
每条跃迁通道产生一组特定能量的α粒子
多群并存
多通道同时发生，α能谱呈分立结构
同一笔奖金的多种分配方案对应 →同一衰变能的不同分配

子核选不同能级=选不同花法；花法不同，α粒子到手金额（动能）就不同

Eα=A−4A(Q−E∗)E_\alpha = \frac{A-4}{A}(Q - E^*)
15第 15 页 · 多组α粒子的成因

α衰变谱的解读

从能谱出发：谱图→分立峰→读峰位与峰高→重建子核能级图。

图解渲染中…
E：α能量最大，对应子核最终落在基态F：α能量较小，子核留在某激发态I：把峰位与峰强合起来就画出子核能级图
16第 16 页 · α衰变谱的解读

衰变常数λ的定义

上一页我们看到α谱呈现分立的能量峰，描述了α粒子「是什么」。但还有第二个问题：每个核衰变得有多「快」？这就需要衰变常数λ。

衰变常数λ的定义
单位时间内，单个原子核发生衰变的概率，单位为s⁻¹
指数衰变定律
N(t)=N₀e^(-λt)：λ越大，未衰变的核随时间下降越快
与半衰期的换算
T₁/₂=ln2/λ；λ越大，半衰期越短
λ的内在属性
由核素本身决定，不受温度、压力、化学形态影响
灯泡每小时烧坏的概率对应 →原子核每秒衰变的概率

每个灯泡每小时有小概率坏掉，λ就是这个「每秒」尺度的概率

N(t)=N0e−λt,T1/2=ln⁡2λN(t) = N_0 e^{-\lambda t},\quad T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}
17第 17 页 · 衰变常数λ的定义

衰变常数与半衰期的关系

上一页定义了衰变常数λ——它是每个原子核在单位时间内衰变的概率。但实验里更容易直接测量的是'过多久剩下的一半'，这两个量之间到底是什么数学关系？

指数衰减规律
N(t)=N₀e^(-λt)，λ越大曲线随时间下降越快
半衰期T₁/₂
原子核数目从N₀减少到N₀/2所经历的时间
数学推导
把N(t)=N₀/2代入指数式，取对数解得T₁/₂=ln2/λ
反比关系
λ与T₁/₂严格成反比，比例常数为ln2≈0.693
水槽按固定比例漏水对应 →放射性原子核指数衰减

每秒漏掉当前水量的比例=λ；水量减半所需时间=T₁/₂。漏得越快，半满时刻就来得越早

T1/2=ln⁡2λ⇔λ=ln⁡2T1/2T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\quad\Leftrightarrow\quad\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}
18第 18 页 · 衰变常数与半衰期的关系

α衰变半衰期的跨度

上一页我们看到衰变常数λ决定半衰期T₁/₂=ln2/λ。不同核素的λ能差多少？答案是：从微秒到百亿年，跨越24个数量级。

短端：微秒量级
如²¹²Po半衰期仅0.3微秒，α粒子几乎瞬间射出
长端：百亿年量级
如²³⁸U半衰期44.7亿年，与地球年龄同量级，至今仍在衰变
跨度达24个数量级
最短约10⁻⁷秒，最长约10¹⁷年，是自然界最广的动力学跨度之一
盖革-努塔尔定律
lg T₁/₂与1/√Q近似线性，Q值越大半衰期越短
眨眼瞬间vs宇宙寿命对应 →半衰期两端跨度

一次眨眼约0.3秒，最长半衰期却是宇宙年龄的几十倍

lg⁡T1/2=aQ+b\lg T_{1/2} = \dfrac{a}{\sqrt{Q}} + b
19第 19 页 · α衰变半衰期的跨度

Geiger-Nuttall规律

经验规律的发现路径：从实测数据到线性关系，再到对隧穿效应的暗示。

图解渲染中…
A：各类核素的λ与Eα实验测定值C：经验公式：lnλ = a + b·EαF：λ跨20+数量级，Eα仅约2倍范围G：1928年Gamow用隧穿理论给出解释
20第 20 页 · Geiger-Nuttall规律

G-N规律的物理本质

G-N规律画出一条漂亮直线——但这条直线背后的物理机制是什么？答案藏在一个对Q值极度敏感的指数函数里。

衰变常数分解
λ = ν·P：ν为撞击频率，P为穿透概率
撞击频率ν近似常量
由核半径决定，不同核素之间仅差几倍
Gamow隧穿因子
P ∝ exp(-G)，G = πZ_d e²/ℏ·√(m_α/2Q)
指数放大Q的微小变化
Q增1 MeV，P可涨上千倍，半衰期随之崩塌
取对数即得G-N直线
log λ ∝ -Z_d/√Q，正是经验规律的来源
徒手翻越百米宽的高墙对应 →α粒子贯穿库仑位垒

Q值（体力）多一点，能翻过的概率不是线性增长，而是指数级飙升

$$\lambda = \nu P,\quad P \approx e^{-G},\quad G = \frac{\pi Z_d e^2}{\hbar}\sqrt{\frac{m_\alpha}{2Q}}$$
21第 21 页 · G-N规律的物理本质

核结构对衰变常数的影响

上页G-N规律把Q值和半衰期串成一条直线——但同样Q值下，不同核素的衰变常数能差到上万倍。问题不在势垒本身，而在势垒之内的核子排布。

奇偶配对效应
偶偶核衰变最快，奇奇核最慢；同Q值下λ可差10⁴以上
幻数壳层效应
子核含幻数（2,8,20,28,50,82,126）则更稳定，λ系统偏离G-N直线
自旋禁戒
母-子核自旋差ΔI越大，穿透因子被指数压制，跃迁变慢
核形变效应
变形核势垒更薄，隧穿概率更大；球形幻数核势垒最厚
同试卷不同底子学生的通过率对应 →同Q值不同核素的衰变常数

试卷难度（Q）一样，但底子（核结构）不同，最终通过率差几个量级

log⁡10T1/2=aZ+bQ+Δshell+Δpair\log_{10} T_{1/2}=\frac{aZ+b}{\sqrt{Q}}+\Delta_{\mathrm{shell}}+\Delta_{\mathrm{pair}}
22第 22 页 · 核结构对衰变常数的影响

衰变常数的实验测量

前页给出了 λ = ln2/T₁₂，但 T₁₂ 从微秒跨到百亿年——许多核素的半衰期根本「不适合」直接观察。实验上怎么测出 λ？这页拆两种路子。

直接计数法
逐时刻统计衰变事件数，画 lnN-t 直线，斜率即 -λ
适用窗口
T₁₂ 从约 1 秒到 10⁵ 年；太短探测器死时间扛不住，太长样品活度不够
短寿命间接法
靠能级宽度 Γ 与寿命的海森堡关系 τ≈ℏ/Γ，或母子体暂态平衡反推
长寿命间接法
分别测活度 A（核辐射计数）与原子数 N（质谱），由 λ=A/N 推出
水龙头放水测流速对应 →测量衰变常数

直接法看水桶水位下降；间接法分别测瞬时流量与桶里总水量再相除

N(t)=N0e−λt,λ=ANN(t)=N_0 e^{-\lambda t},\quad \lambda=\frac{A}{N}
23第 23 页 · 衰变常数的实验测量

α衰变知识网络

从基础反应出发，沿能量主线与速率主线两条路径，汇于G-N规律

图解渲染中…
A：α衰变反应方程、α粒子本质与典型特征B：反应释放的总能量Q，是后续所有讨论的物理源头F：横切全局：核结构同时影响速率λ与G-N规律
24第 24 页 · α衰变知识网络

核心要点回顾

  • ✓α衰变本质是量子隧穿，半衰期跨20+数量级源于势垒敏感性
  • ✓Q值由质量亏损决定，按反比质量分配于α粒子与反冲核
  • ✓α能谱只显示被布居的子核能级：谱线对应激发态，强度反映分支比
  • ✓G-N规律：log(T₁)与1/√Q近似线性，隧穿机制实证
  • ✓λ是α衰变核心物理量，编码核结构与势垒；半衰期只是导出量
延伸主题：β衰变γ跃迁与内转换重核自发裂变
25第 25 页 · 核心要点回顾

自测检验

点击作答

母核初始静止时发生α衰变，衰变能Q在α粒子与子核之间如何分配？

26第 26 页 · 自测检验

课后思考

先合上笔记独自想一会儿，再翻看参考答案。三道题分别对应回顾、应用与深入思考。

1α衰变发生的物理条件是什么？为什么轻核几乎不发生α衰变？

参考答案Q值必须为正（能量上允许），同时α粒子要隧穿库仑势垒。轻核Q值小或为负，势垒相对厚，隧穿概率极低。

2实验中若测到某核素发出多组不同能量的α粒子，如何判断哪些对应基态→基态跃迁？

参考答案能量最大的那组通常对应基态→基态跃迁（Q值最大）；其余组对应走向子核激发态，能量差正好等于子核激发能。

3Geiger-Nuttall规律只是经验拟合。若某核素严重偏离这条直线，可能有哪些深层物理原因？

参考答案可能涉及核结构（壳层效应、奇偶差）、核形变、自旋禁戒等因素。G-N规律忽略这些细节，严重偏离往往意味着核结构有特殊性。

27第 27 页 · 课后思考
α衰变 · 知识图解