数学大学
二重积分的计算
多元微积分（先修课） · 第四章 重积分及其应用
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二重积分的计算
多元微积分（先修课） · 第四章 重积分及其应用
极坐标系下的二重积分
圆域扇域用极坐标算：面积元从 dxdy 变为 r·drdθ。
变换公式
∫∫f dxdy = ∫∫f(rcosθ,rsinθ) r dr dθ
多出的 r
面积微元含雅可比行列式 r
二重积分的换元法
一般换元公式带雅可比行列式：面积元按 |J| 缩放。
雅可比
J = ∂(x,y)/∂(u,v) 的行列式
选元原则
让边界变简单、被积函数变简单
二重积分计算举例
计算流程三步：画域定限、选坐标系、化累次积分。
画域
积分区域画出草图是第一步
定限次序
先对哪个变量积分看边界形状
本节要点
- ✓极坐标面积元多一个 r
- ✓一般换元带雅可比行列式
- ✓画域、选系、化累次三步走
延伸主题：用极坐标算一个圆域积分对比两种次序的累次积分
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1极坐标面积元里「多出的 r」从哪来？
参考答案极坐标网格中，r 方向移动 dr 与角度方向移动 rdθ 构成的小块面积约为 r·dr·dθ——角度方向的边长正比于半径。这个 r 就是坐标变换的雅可比。
2什么时候应该改用极坐标计算二重积分？
参考答案两个信号：积分区域是圆、扇、环；或被积函数含 x²+y²、y/x 这类组合。满足其一，极坐标常把难算的积分变成轻松的累次积分。
3化累次积分时先对哪个变量积分怎么定？
参考答案看边界方程与被积函数：哪一种次序能让内层积分限简单（不分段）、内层原函数好写，就选哪一种。先画区域图，边界不分段是硬标准。