平面直角坐标系

官官方数学老师·10 页·进阶（有基础，想深入原理）·0 次浏览·3 天前

✦ 平面直角坐标系数学平面直角坐标系象限

坐标变换数形结合几何意义平移旋转

平面直角坐标系

从一维数轴到二维平面，看透坐标与点一一对应的底层逻辑

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坐标变换数形结合几何意义平移旋转

平面直角坐标系

从一维数轴到二维平面，看透坐标与点一一对应的底层逻辑

1第 1 页 · 平面直角坐标系

在坐标系中描点

坐标系画好了两条轴，但还差一步——怎么用它精确定位一个点？回想一下电影院找座位的经验：先看第几排，再看第几座，组合起来就锁定了唯一位置。描点的思路完全一样。

有序数对 (x, y)

坐标由横坐标 x 和纵坐标 y 组成，顺序不可颠倒，(3,5) 与 (5,3) 是两个不同的点

描点方法

先沿 x 轴找到横坐标位置，再过该点作平行于 y 轴的垂线；纵坐标同理，两线交点即为所求

象限符号规律

第一象限 (+,+)、第二 (-,+)、第三 (-,-)、第四 (+,-)，符号沿逆时针方向轮换

特殊位置

x 轴上的点纵坐标为 0，y 轴上的点横坐标为 0，原点 (0,0) 是两条轴的公共交点

一一对应

平面上的点与坐标 (a,b) 之间存在唯一对应，这是坐标法能成立的数学根基

电影院找座位对应 →坐标系中描点

排号=横坐标 x，座号=纵坐标 y，(排,座) 组合唯一锁定一个座位

(a,\ b)\ \text{其中 }a\text{ 为横坐标，}b\text{ 为纵坐标}

2第 2 页 · 在坐标系中描点

有序数对

上页在坐标系里描点时，每个点都跟着一对带括号的双数。这组数到底怎么读、怎么写、前后位置能不能换？这页把规矩讲透。

定义

两个数按顺序写在圆括号内，记作 (a, b)，a 在前 b 在后

有序性

前后位置含义不同，(3,5) 与 (5,3) 一般代表不同的点

一一对应

一个有序数对对应平面内唯一一点，反之每点也对应唯一数对

写法规范

两数之间用逗号分隔，外加圆括号，括号必须成对写出

电影院座位对应 →有序数对

5 排 3 座即 (5,3)，换位成 3 排 5 座人完全变了——顺序不可乱

3第 3 页 · 有序数对

数轴与点的对应关系

上一页我们用 (x, y) 在平面上定位一个点。其实拆开看，单独的 x 或 y 就能在一条直线上定位一个点——这条直线就是数轴。今天深入一层：点和数到底是什么关系？

三要素缺一不可

原点、正方向、单位长度共同确定刻度系统

点与实数一一对应

每个点对应唯一实数，反过来每个实数也对应唯一点

实数稠密性

任意两点之间都能再插入第三个点，没有空隙

距离即绝对值

数轴上两点距离等于坐标差的绝对值

温度计刻度对应 →数轴上的点

温度计每一刻度对应一个温度值，任意两刻度之间都能再细读，体现稠密性

d(x_1, x_2) = |x_1 - x_2|

4第 4 页 · 数轴与点的对应关系

平面直角坐标系

在上一页你已经会按有序数对在格子上描点。但有没有想过：为什么两个数字就能锁定平面上一个点？这页我们回到坐标系本身，看它怎么由两条数轴拼出来，又为什么这么好用。

正交两轴，原点重合

横轴（x 轴）与纵轴（y 轴）垂直相交于同一点

四要素

原点、x 轴、y 轴、四个象限共同构成坐标系骨架

点与数对一一对应

平面上每个点 ↔ 唯一有序实数对 (x,y)，反向也成立

典型应用

函数图像、几何作图、物理矢量、数据图都基于此

电影院座位号对应 →平面直角坐标系

排号 = x 轴方向，座位号 = y 轴方向；(x,y) 锁定一个点，正如排+座锁定一个座位

Q_{I}:(+,+),\ Q_{II}:(-,+),\ Q_{III}:(-,-),\ Q_{IV}:(+,-)

5第 5 页 · 平面直角坐标系

点的坐标

上一节我们把有序实数对画到了坐标系里，反过来说，坐标系中任何一个点也都对应着一对数——这就是点的坐标。今天我们把这层对应关系讲透。

坐标的定义

点 P 在坐标系中的位置用有序实数对 (x, y) 表示

横坐标与纵坐标

x 称横坐标，y 称纵坐标，分别对应点到 y 轴、x 轴的有向距离

原点的坐标

(0, 0)，是两轴唯一交点，不属于任何象限

坐标的唯一性

平面内每个点 ↔ 唯一有序实数对，构成一一对应

象限的符号规律

一 (+ +)、二 (- +)、三 (- -)、四 (+ -)，按逆时针记忆

电影院座位号对应 →点的坐标

第几排第几号唯一锁定一个观众，(x, y) 也唯一锁定一个点

6第 6 页 · 点的坐标

象限

拿到 (-3, 2) 和 (5, -1) 两个点，光看坐标还不够——它们落的位置有什么规律？这就要靠"象限"把平面分区。

四象限划分

两条坐标轴垂直相交，把平面分成四个区域

逆时针编号

沿逆时针方向依次为第一、二、三、四象限

符号组合

Q1(++)、Q2(-+)、Q3(--)、Q4(+-)，每象限符号固定

边界例外

原点与坐标轴上的点不属于任何象限

地图上的东南西北对应 →数学上的四个象限

经纬线把地球分区，坐标轴把平面分区，都是用位置区域帮我们定位

7第 7 页 · 象限

经纬度坐标

在手机地图里输入一个地名，页面会落到一个可分享的位置；把纸面上的横纵坐标换成地表的一对角坐标，就能理解经纬度。

纬度

以赤道为0°，向北、向南各到90°，分别记北纬或南纬。

经度

以本初子午线为0°，向东、向西各到180°，分别记东经或西经。

组合定位

通常按“纬度、经度”书写；除极点外，一对经纬度确定地表一个位置。

典型应用

GPS、地图定位和航线计算都用经纬度表示位置，并计算距离或方向。

查城市住址对应 →经纬度坐标

街道名限定一条线，门牌号标出线上位置；经线与纬线互相限定，交点定出位置。

(\varphi,\lambda)=(\text{纬度},\text{经度}),\quad \varphi\in[-90^\circ,90^\circ],\ \lambda\in[-180^\circ,180^\circ]

8第 8 页 · 经纬度坐标

本节要点

✓两轴垂直相交，平面被分成四象限
✓坐标 (x, y) 是有序数对，顺序不能换
✓坐标的正负号一眼看出所在象限
✓经纬度把坐标思想推广到球面

延伸主题：极坐标系函数图象入门距离与中点公式

9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考，再对照参考答案。三道题覆盖回顾、应用与迁移。

1为什么一对有序数 (x, y) 能确定平面上唯一的一个点？一个点又为什么一定对应一对有序数？

参考答案两条互相垂直的数轴把平面分成四个象限。x 定左右，y 定上下，缺一不可——这就是“有序”的含义。

2如果只用一条数轴（比如 x 轴），不引入 y 轴，能描述窗户上某块玻璃的位置吗？为什么？

参考答案不能。一条数轴只能分“左右”，分不出“上下”。窗户是二维平面，必须用两个独立方向量才能定位。

3经纬度先经后纬，数学里先 x 后 y。如果反过来先 y 后 x，坐标系会发生什么变化？

参考答案点的位置和几何关系都不变，只是 x 与 y 的符号约定对调。相当于沿 y=x 做反射变换，所有性质都被对称保持。

10第 10 页 · 课后思考