数学大学
时变分析原理
动态测试与分析（下） · 第6章 时变分析原理
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时变分析原理
动态测试与分析（下） · 第6章 时变分析原理
相似性分析（1）
相似性分析回答「两段信号有多像」：内积是相似度的数学度量。
相似度量
内积越大，两信号形状越相似
归一比较
除以各自能量，消除幅度差异的影响
相似性分析（2）
相似性有广泛用途：找重复波形、对齐时间起点、检测已知模式。
模式检测
拿模板信号去匹配观测数据
对齐
相似峰的位置给出两信号的时延差
相关分析
相关分析把相似度按移位量展开成一条曲线：整体看「哪里最像」。
相关函数
移位量从负到正逐点算内积
自相关与互相关
信号自身相关找周期，两信号相关找时延
相关分析的快速算法（1）
直接算相关是平方量级：借助卷积定理搬到频域就快了。
瓶颈
每个移位都要一次乘积求和
思路
相关对应频域乘共轭谱
相关分析的快速算法（2）
FFT 实现快速相关：正变换、共轭相乘、逆变换三步完成。
三步法
FFT→共轭相乘→IFFT
量级
降至 O(N log N)，长信号优势巨大
本节要点
- ✓相似度用内积度量，先归一再比较
- ✓相关曲线整体呈现「哪里最像」
- ✓自相关找周期，互相关测时延
- ✓FFT 三步法把相关降到对数级
延伸主题：手算短信号的自相关用 FFT 实现一次互相关
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1自相关函数出现周期性峰值，说明信号有什么特征？
参考答案自相关在某个移位量处反复出现峰，说明信号自身具有该移位量的重复结构——即隐藏周期。噪声的自相关则迅速衰减到零，因此自相关是弱周期信号的探测利器。
2为什么快速相关要「共轭相乘」而不是直接相乘？
参考答案相关要求的是逐移位的内积，对应频域一个谱取共轭后相乘；直接相乘算出的是卷积。共轭正是「相关与卷积差一次翻转」在频域的体现。
3归一化相关系数与直接用内积比较，好处是什么？
参考答案两个信号幅度不同时，内积大小会被幅度差异主导，无法公平比较形状。除以各自能量的平方根后，取值落在 -1 到 1 之间，只反映形状相似程度。