实际问题与二次函数

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二次函数实际应用数学建模

实际问题与二次函数

从利润最大到抛物线轨迹，掌握建模全过程

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二次函数实际应用数学建模

实际问题与二次函数

从利润最大到抛物线轨迹，掌握建模全过程

1第 1 页 · 实际问题与二次函数

二次函数的标准形式

上页我们看到，抛物线能描述投球轨迹、拱桥形状。但抛物线在纸上到底怎么"写"出来？这就需要给二次函数一个标准的表达方式。

一般式
三个系数 a、b、c 决定整条抛物线，a 决定开口方向与胖瘦
顶点式
(h,k) 就是顶点，a 仍决定开口，k 是极值
等价变形
通过配方法可互化，只是同一信息的两种呈现
同一座山的两种地图对应 →一般式与顶点式

一般式像等高线，密密麻麻；顶点式直接标出山顶，一眼锁定极值点

y=ax2+bx+c⟺y=a(x−h)2+ky = ax^2 + bx + c \quad \Longleftrightarrow \quad y = a(x - h)^2 + k
2第 2 页 · 二次函数的标准形式

抛物线的核心特征

中心是抛物线三要素总览，三条主分支分别对应开口方向、对称轴、顶点。

图解渲染中…
顶点式直接读：上一页顶点式直接给出顶点坐标用配方法可求：把一般式化为顶点式即可读出对称轴
3第 3 页 · 抛物线的核心特征

最值的几何意义

上一页我们看到了抛物线的开口方向、对称轴和顶点。顶点是个特殊点——它的纵坐标，就是函数能取到的最大值或最小值。

顶点的双重身份
既是几何上抛物线的转折处，也是函数最值的所在
开口决定类型
a>0 开口向上取最小值；a<0 开口向下取最大值
用公式求纵坐标
把 a,b,c 代入顶点公式，算出顶点 y 值即最值
对称性的意义
顶点左右等距的两点函数值相等，所以极值只能落在顶点
山顶与山谷对应 →抛物线顶点

山顶是山的最高点，对应最大值；山谷是最低点，对应最小值

$y_{顶点}=\frac{4ac-b^2}{4a}$
4第 4 页 · 最值的几何意义

配方法求最值四步

把一般式变成顶点式，每一步都有存在的理由，不能跳过也不能乱序。

1
提系数
把二次项系数 a 提到括号外，让括号内二次项系数变 1
2
配方
在括号内加减一个平方数，让括号内凑成完全平方式
3
写顶点式
把配方结果整理为 a(x-h)²+k 的形式，顶点位置一目了然
4
读最值
由顶点式读出对称轴 x=h 和最值 y=k，a 的正负决定最值类型
5第 5 页 · 配方法求最值四步

开口方向决定最值类型

配方法四步能求出最值的具体数值，但它是最大值还是最小值，还要回头看 a 的符号。

a>0 开口向上
抛物线呈U形，函数有最小值，恰好在顶点处取得
a<0 开口向下
抛物线呈倒U形，函数有最大值，同样在顶点处取得
实际问题的取舍
求最少/最小成本时建a>0模型；求最多/最大收益时建a<0模型
碗与倒扣的碗对应 →开口向上与开口向下

正放碗底是最低点，对应最小值；倒扣碗顶是最高点，对应最大值

a>0⇒ymin⁡,a<0⇒ymax⁡a > 0 \Rightarrow y_{\min},\quad a < 0 \Rightarrow y_{\max}
6第 6 页 · 开口方向决定最值类型

区间受限时的最值

顶点一定是最值点吗？——一旦 x 被限制在闭区间，最值可能跑到端点。

误区：顶点必最值
  • 默认 x 可取全体实数
  • 最值点一定在顶点
  • 只看顶点纵坐标
  • 适用纯数学题
正解：看顶点位置
  • 实际 x 只在闭区间内
  • 最值点可能在端点处
  • 需比较顶点与端点值
  • 适用实际建模问题
闭区间问题：顶点函数值与两端点函数值比，哪个大哪个就是最值。
7第 7 页 · 区间受限时的最值

建模四步法

把现实问题翻译成二次函数，就靠这四步走完。

1
设变量
用一个量表示另一个量，明确谁随谁变
2
找等量关系
从题意里找不变的约束条件，写成等式
3
列函数式
把变量代入等式，得到二次函数模型
4
求解检验
求出最值或范围，验证是否合乎题意
8第 8 页 · 建模四步法

常见建模情境

面积围栏、抛物运动、利润最大化

常见建模情境
面积围栏、抛物运动、利润最大化
9第 9 页 · 常见建模情境

面积类问题建模

建模路径图：从已知条件出发，逐节点推到面积最值。蓝=建模设置，橙=函数构造，绿=求最值。

图解渲染中…
a3：栏杆围三边：长 + 2×宽 = L，故长 = L/2 - xa5：S = x(L/2-x) = -x² + (L/2)x，二次函数a7：配方 S = -(x-L/4)² + L²/16 的顶点读出
10第 10 页 · 面积类问题建模

抛物运动问题建模

建模流程图：从竖直上抛情境出发，列式化为二次函数，再用抛物线特征翻译回物理量。

图解渲染中…
a3：h(t)=h₀+v₀t−½gt²，物理位移公式a4：化为 −½g·t²+v₀t+h₀，a 即 −½ga6：顶点横坐标 t=v₀/g 即到达最高点时刻a8：h=0 的两根：起抛时刻与落地时刻
11第 11 页 · 抛物运动问题建模

利润最大化问题建模

流程图展示从设定变量到求出最大利润的完整建模链条，按箭头方向逐步推进。

图解渲染中…
a2：销量随定价上升而线性下降，源于需求规律a3：R=xQ 是关于 x 的开口向下二次函数a6：用顶点公式 x*=-b/(2a) 求极大值点
12第 12 页 · 利润最大化问题建模

建模自测

点击作答

某商店进价40元/件的商品，按50元/件售出时每天可卖200件。每降价1元，每天多卖10件。设每件售价为x元，每天利润为W元，下列建模正确的是？

13第 13 页 · 建模自测

数形结合的内涵

想象桌上一张抛物线图，旁边还写着一行代数式 y = -2x² + 8x + 3。两者其实是同一件事的两种语言——这页讲它们怎么互译、为什么要并用。

代数：精确
写出来就是数值——开口方向、对称轴、顶点坐标、增减区间全能算
图像：直观
画出来一眼看清——升降趋势、对称性、极值位置、整体走向
双向翻译
式到图靠描点连线；图到式靠读特征写方程
互补使用
难题先看图找思路，再代数算准答案；或反过来验证
导航地图 + GPS 坐标对应 →图像 + 代数式

地图让你看清路怎么拐（整体走势），GPS 报出你此刻的精确位置（具体数值）

14第 14 页 · 数形结合的内涵

方程与图像的对应

左列代数视角，右列几何视角，中间由判别式Δ对应串联。

图解渲染中…
B：判别式 Δ=b²-4ac，决定根的个数C：方程的两个实数根 x₁,x₂H：抛物线与x轴交点的横坐标即根J：Δ<0时图像整个位于x轴上方或下方
15第 15 页 · 方程与图像的对应

核心要点回顾

  • ✓建模是把约束翻译成函数关系
  • ✓开口方向决定极大还是极小
  • ✓区间受限时需比较端点与顶点
  • ✓数形结合让等量关系一目了然
  • ✓配方法是求最值的通用工具
延伸主题：二次不等式求解参数对图像的影响应用题综合训练
16第 16 页 · 核心要点回顾

课后思考

先独立思考，再对照参考答案，检验思路是否完整。

1为什么二次函数总在顶点处取得最值？从对称性角度怎么理解？

参考答案对称轴两侧函数值关于顶点对称，一侧递增一侧递减——顶点即转折点。配合开口方向即可判断最值类型。

2若利润模型中成本也是非线性的，二次函数建模还成立吗？

参考答案成本若也是二次的，利润模型仍为二次；若更复杂，需用分段函数或更高次函数，二次模型失效。

3变量必须取整数或区间受限时，顶点公式还管用吗？什么时候会失效？

参考答案顶点给出连续实数域上的最值。整数约束下取最接近的整数点；区间受限时需比较端点与顶点函数值。

17第 17 页 · 课后思考