锐角三角函数
看透 sin、cos、tan 的几何本质，掌握从一个角度反推边长的方法
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锐角三角函数
看透 sin、cos、tan 的几何本质，掌握从一个角度反推边长的方法
生活中的测量难题
你站在古塔脚下想知道它多高——但爬不上去，绳子也够不到塔顶。古希腊人两千多年前就为这个问题发愁，并由此发明了一整套数学工具。
竹竿影长 : 塔影长 = 竹竿高 : 塔高，同一时刻成立
相似三角形的对应边
上页说金字塔太高爬不上去测不了。换个思路：在地上画一个跟金字塔'形状一样但小很多'的三角形，量小三角形的边，能不能推算出金字塔的边？这里的关键是——形状相同的三角形，边长有什么关系？
每条边都按同一个倍数 k 拉长，角度一个都不变
边比为什么固定不变
上页说到相似三角形对应边成比例，那这个「比例」具体是多少？它由什么决定？
人脸放大（三角形变大），眼距和脸宽的比例却不变（边比不变）——形状由比例锁死
正弦：角的对边比斜边
上一页我们确认了：角度定了，边比就锁死了。今天给这些「比」起名字——最重要的，叫正弦 sin：对边除以斜边。
梯长=斜边固定，倾角越大，墙上的高度（对边）越高，比值越大
余弦：角的邻边比斜边
上页正弦用对边比斜边衡量了角的'竖直程度'。现在换一条直角边——和角相邻的那条——它和斜边的比值同样固定，叫余弦。
梯子越长（斜边固定），底端越靠墙（角越大），邻边越短，cos 越小
正切：角的对边比邻边
正弦、余弦的分子或分母都用到斜边。但坡度只问「升多少、走多远」，斜边多长根本无所谓。正切 tan 就是这个比值。
升高÷水平距离=坡度比；坡越陡 tan 越大，缓坡 tan 接近 0
正弦、余弦、正切的关系
从同一个直角三角形出发，看 sin、cos、tan 分别用了哪两条边，以及三者之间最关键的一条关系。
推导 30°、45°、60° 的函数值
三个特殊角的值，由两类对称三角形直接读出，不需要死记。
三个特殊角的函数值对比
六个函数值不用死记——正弦和余弦之间藏着对称规律。
- sin30° = 1/2
- sin45° = √2/2
- sin60° = √3/2
- 随角度增大单调递增
- cos30° = √3/2
- cos45° = √2/2
- cos60° = 1/2
- 随角度增大单调递减
特殊角的三角函数练习
在 30°-60°-90° 的直角三角形中，斜边长为 2，则 30° 角所对的直角边长度为：
锐角三角函数单元总结
- ✓直角三角形中，角确定则边之比固定——三角函数的前提
- ✓sin、cos、tan 是把角翻译成边之比的三种方式
- ✓同一个角的三个函数值互相牵制，可从一个推出另两个
- ✓30°/45°/60° 函数值背一张表，后续计算都靠它
课后思考
先自己琢磨，再看参考答案——好的问题值得多想一会。
参考答案因为相似三角形对应边成比例。角决定的是形状而非大小——斜边放大几倍，对边也放大同样倍数，比值不变。
参考答案可以！在远处测出仰角和到旗杆的水平距离，正切乘以距离就是高度。核心是找到可测的边和角。
参考答案趋近 0°：对边趋近 0，三个函数值都趋近 0。趋近 90°：邻边趋近 0，正弦趋近 1，正切趋近无穷大。