离散型随机变量的数字特征

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✦ 离散型随机变量的数字特征数学离散型随机变量的数字特征标准差

数字特征期望方差概率论矩与协方差

离散型随机变量的数字特征

从定义到性质，搞懂期望、方差、矩的推导逻辑与适用边界

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数字特征期望方差概率论矩与协方差

离散型随机变量的数字特征

从定义到性质，搞懂期望、方差、矩的推导逻辑与适用边界

1第 1 页 · 离散型随机变量的数字特征

从分布列计算期望

上页我们认识了几种「数字特征」，其中第一个、最常用的就是期望。它是把分布列「算平均」得到的代表值：每个取值按概率加权。这一页，我们把它的定义、边界、关键用法一层层展开。

定义式

把每个取值 xᵢ 乘以它出现的概率 pᵢ，对所有可能结果求和

本质：加权平均

把每个可能值按概率当权重平均，得到分布的「代表值」

存在性边界

若 Σ|xᵢ|pᵢ 不收敛（不绝对收敛），期望视为不存在

线性是计算利器

E(aX+bY+c) = aE(X)+bE(Y)+c，X、Y 之间不用独立

学分加权平均分（GPA）对应 →离散随机变量的期望

都是加权平均，权重一个看学分（先验给定），一个看概率（分布列自带）

E(X) = \sum_{i} x_i p_i \quad (\text{级数绝对收敛时})

2第 2 页 · 从分布列计算期望

从分布列计算方差

上页用 Σxᵢpᵢ 算出了期望 EX，它告诉我们随机变量的『平均位置』。但光知道位置还不够——还需要知道数据绕这个位置『散开』了多远，这就是方差。

定义式

D(X)=Σ(xᵢ−EX)²pᵢ，离均差平方的加权平均

简化公式

D(X)=E(X²)−(EX)²，平方的期望减期望的平方

线性性质

D(aX+b)=a²D(X)，常数 b 不影响离散度，系数要平方

非负性

D(X)≥0，等号成立当且仅当 X 是常数随机变量

典型应用

0-1 分布 D(X)=p(1−p)；二项分布 B(n,p) D(X)=np(1−p)

射击靶上的弹孔对应 →方差

均值是靶心位置，方差衡量弹孔绕靶心散开的平均平方距离

D(X)=\sum_i(x_i-EX)^2 p_i = E(X^2)-(EX)^2

3第 3 页 · 从分布列计算方差

离散型随机变量的均值（数

前两页我们按分布列算出了那个『数』——可它到底代表什么？为什么叫『期望』？为什么有时算出来的值，X 永远取不到？这一页把概念本身拆开看。

加权平均

E(X) 是把每个取值 x_i 按概率 p_i 加权求和——权重是概率，不是频数

不必可取到

E(X) 不必是 X 的可能取值：均匀骰子的期望是 3.5，但 3.5 永远掷不出

线性可加

E(aX+b)=aE(X)+b，无关独立性——这是期望最锋利的计算工具

不唯一刻画

不同分布可有相同均值；E(X) 只反映中心位置，无法反推整个分布

班级考试平均分对应 →数学期望

每个分数按出现概率加权；班里可能没人考到那个『平均分』

E(X)=\sum_i x_i p_i\quad E(aX+b)=aE(X)+b

4第 4 页 · 离散型随机变量的均值（数

两点分布的期望

上一节我们用定义式 E(X)=Σxᵢpᵢ 算期望，现在把它套到最简单的离散分布上——两点分布，看公式能简化成什么。

分布列

X 取 1 概率 p，取 0 概率 1-p，是最简的非退化离散分布

期望公式

E(X) = 1·p + 0·(1-p) = p，期望就等于事件发生的概率

方差公式

D(X) = p(1-p)，p=0.5 时方差最大为 1/4

边界行为

p=0 或 p=1 时 X 退化为常数，方差都为 0

典型应用

单次伯努利试验：抛硬币、产品合格判定、一次射击命中

抛一次硬币对应 →两点分布的一次实现

正面记 1、反面记 0，p 就是硬币正面朝上的概率

E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p

5第 5 页 · 两点分布的期望

期望的线性性质

你已经会算单个变量的期望了。但遇到 X+Y、3X-2Y 这种组合，硬算联合分布列太麻烦。期望有个代数性质能直接秒杀。

线性性质公式

E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c，X、Y 可任意

不要求独立

X 与 Y 是否相关、是否独立都成立，这点和方差相反

多变量推广

有限个变量的线性组合，期望等于期望的线性组合

指示变量法

把复杂计数拆成 0/1 变量之和，绕过联合分布列

月底算到手工资对应 →期望的线性性质

底薪+提成+补贴直接相加，不必管它们之间有没有联动

E\left(\sum_{i=1}^{n} a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} a_i E(X_i)

6第 6 页 · 期望的线性性质

离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差：定义、要点与典型应用

离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差：定义、要点与典型应用

7第 7 页 · 离散型随机变量的方差

方差计算简化公式

用定义 D(X)=Σ(xᵢ−μ)²·pᵢ 算方差，每一项都要先减去期望再平方。有没有更省事的办法？这页就拆方差计算中一个常用的简化公式。

简化公式

D(X)=E(X²)−[E(X)]²，即「X 平方的期望」减去「期望的平方」

推导思路

展开 (X−μ)²，交叉项因期望线性性自然消去，剩下 E(X²)−μ²

操作步骤

①算 μ=E(X)；②把 xᵢ²·pᵢ 求和得 E(X²)；③相减即得 D(X)

典型场景

两点分布直接得 D(X)=p(1−p)，不用列 (0−p)²+(1−p)²

逐个减 μ 再平方求和对应 →整体 E(X²) 再减 [E(X)]²

避开每项减均值的繁琐，两法完全等价但计算量显著降低

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\sum_i x_i^2 p_i-\left(\sum_i x_i p_i\right)^2

8第 8 页 · 方差计算简化公式

方差的性质

前面用偏离均值的平方和定义了方差，也得到了简化公式。现在继续追问：随机变量平移、缩放或相加时，方差怎样变化？

非负性

D(X)≥0；等号成立当且仅当 X 几乎处处等于其期望

平移伸缩

D(aX+b)=a²D(X)：加减常数不改变方差，乘 a 后方差变为 a² 倍

常量的方差

D(c)=0，因为常量没有随机波动，而非零方差说明存在波动

独立可加性

若 X、Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)；不独立时还多出协方差项

标准化应用

用 (X−EX)/σ_X 可使变量均值变为 0、方差变为 1

弹簧振子的振动对应 →随机变量的方差

平衡位置对应期望，平均平方位移对应方差；整体平移不变，振幅放大 a 倍时平方位移扩大 a²

D(X)\ge 0,\quad D(c)=0,\quad D(aX+b)=a^2D(X);\quad X,Y\text{ 独立}\Rightarrow D(X+Y)=D(X)+D(Y)

9第 9 页 · 方差的性质

标准差

方差解决了「用平方衡量偏离」的难题，但有个副作用：单位被平方了——身高方差是 cm²，没法直接说「平均偏离多少 cm」。标准差就是对方差开根号，把单位还原回来。

定义

D(X) = √D(X)，即方差的算术平方根

与 X 同量纲

单位不放大也不缩小，可与 X 直接加减比较

典型偏离距离

数值直观反映 X 偏离期望的「平均距离」

与方差取舍

运算性质不如方差简洁，但解读更自然

典型应用

金融风险测度（年化波动率）、质量控制（±3σ 准则）等

速度（m/s）对应 →标准差

方差像动能（½mv²），含平方不便感知；标准差像速度，开方后和 X 同单位，能直接说「偏离多少」

D(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\sum_i (x_i - E(X))^2 p_i}

10第 10 页 · 标准差

本节要点

✓期望是概率加权的平均，反映分布集中位置
✓方差衡量波动大小，DX=EX²−(EX)²最易算
✓期望线性性恒成立，不要求 X、Y 独立
✓D(aX+b)=a²D(X)，平移不变、缩放平方
✓标准差与 X 同量纲，可跨变量比较波动

延伸主题：协方差与相关系数二项分布的数字特征大数定律简介

11第 11 页 · 本节要点

课后思考

三道题，先各想 1-2 分钟再看参考答案。题 1 回顾公式直觉，题 2 换个数字练手，题 3 把思路拉到分布列之外。

1为什么 E(aX+b) = aE(X)+b？从「加权平均」的角度想想，为什么这条性质其实是「显然」的？

参考答案X 取 xᵢ 时 aX+b 取 axᵢ+b——相当于把每个取值先平移 b 再缩放 a，权重不变。所以新的加权平均就是旧的加权平均先平移再缩放。

2某班成绩 X（满分 100），老师把每人成绩都乘 1.2 倍再减 5 分。新的均值、方差、标准差各是多少？和原来有什么关系？

参考答案均值为 1.2E(X)−5；方差为 1.44D(X)；标准差为 1.2σ。注意方差对缩放是「平方放大」，标准差才与缩放同比例——这就是为什么要开根号。

3两个不同的离散型随机变量 X 和 Y，能否拥有相同的均值和方差？请举例。均值和方差能「完整描述」一个分布吗？

参考答案能。例如 X：0 和 2 各取一半；Y：−1 和 3 各取一半——均值都是 1、方差都是 1，分布却不同。说明 E 和 D 只抓住了一、二阶矩，丢掉了形状信息。

12第 12 页 · 课后思考