数学大学
可求解的一阶微分方程（初
微积分——多元函数与重积分 · 第五章 常微分方程
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数学大学
可求解的一阶微分方程（初
微积分——多元函数与重积分 · 第五章 常微分方程
变量分离方程
变量分离方程：dy/dx = g(x)h(y)，两边各自积分即解。
分离
dy/h(y) = g(x) dx
积分
两边积分加任意常数得通解
齐次型方程
齐次型方程：右端是 y/x 的函数，令 u=y/x 化为变量分离。
识别
分子分母同次齐次 ⇒ 右端只依赖 y/x
代换
y=ux，dy= u dx + x du 代入
可化为齐次型方程的方程
平移化齐次：分子分母中的一次项经坐标平移消去，化为齐次型。
交点平移
解两条直线交点，把原点搬到交点
平行特例
直线平行时化为线性方程处理
一阶线性微分方程的概念和
一阶线性方程 dy/dx + P(x)y = Q(x)：结构线性，解的差与齐次解相关。
齐次部分
Q=0 时解构成一维线性空间
结构
非齐次通解 = 齐次通解 + 一个特解
一阶线性微分方程的解法
常数变易法或积分因子法：乘 e^{∫P dx} 后左边成为全导数。
积分因子
μ = e^{∫P dx} 使左端化为 (μy)′
通解
两边积分除以 μ 即得通解
Bernoulli方程
伯努利方程 y′+P(x)y=Q(x)yⁿ：代换 z=y^{1−n} 化为一阶线性。
代换
z = y^{1−n}，导数按链式转换
特例
n=0、1 时退化为线性方程
可降阶方程（之一）
不显含 y 的方程 y″=f(x,y′)：设 p=y′ 降为一阶方程。
降阶
p=y′，y″=p′，化为 p 的一阶方程
还原
解出 p 后再积分一次得 y
可降阶方程（之二）
不显含 x 的方程 y″=f(y,y′)：设 p=y′ 并把 y″ 写成 p·dp/dy。
降阶
y″ = p·dp/dy，化为 p 关于 y 的方程
适用
自由落体、单摆等力学问题常见
本节要点
- ✓变量分离是所有手法的起点
- ✓齐次型用代换，线性用积分因子
- ✓Bernoulli 代变换线性
- ✓两类可降阶：缺 y 与缺 x
延伸主题：各解一题熟悉套路整理方程类型识别表
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1判断一阶方程类型的优先顺序是什么？
参考答案先看能否变量分离；再看是否关于 y 线性（用积分因子）；齐次型与伯努利用代变换化归；都排除后考虑全微分方程或一般代换。识别类型就是解的一半。
2积分因子法的思想本质是什么？
参考答案寻找一个乘子把左端「凑成」某函数的全导数 (μy)′，从而两边直接积分。它是「逆向运用乘积求导法则」——凑微分思想在一阶方程中的系统化。
3线性方程的解为什么长成「齐次通解 + 特解」？
参考答案方程右端 Q(x) 造成的偏移可以由一个特解吸收，剩余部分严格满足齐次方程；线性叠加保证两者相加仍是解，而齐次通解承载全部自由度（常数）。此结构对高阶线性方程同样成立。