维恩图重叠问题集合入门小学数学
数学广角——集合
看图就能搞定集合里的重叠问题
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维恩图重叠问题集合入门小学数学
数学广角——集合
看图就能搞定集合里的重叠问题
什么是集合
体育课老师让大家「高个子站一排、矮个子站另一排」——这种按共同特征分堆站队的方法，就是数学里的「集合」。
集合
把具有某一共同特征的对象放到一起，就组成一个集合
元素
集合里每一个具体的对象都叫元素，可以是物品、人物或数字
共同特征
判断是否属于同一集合，关键看它们有没有共同的特征
体育课分排站对应 →集合
同一特征的人站一排 = 有共同特征的元素组成一个集合
集合的元素
上一节我们认识了集合——把一堆相关的东西圈起来当成一个整体。这一节我们走进去，看看圈里的每个东西叫什么、有什么特点。
元素（成员）
集合里的每一个具体东西，都是这个集合的元素
元素多种多样
数字、字母、人、动物、图形，什么都能当元素
元素有共性
能被圈进同一个集合，是因为它们有共同特征
通常用小写字母表示
约定俗成用 a、b、c 指代某个具体的元素
水果篮对应 →集合
篮子就是集合，里面的苹果、橘子、香蕉就是元素
用维恩图表示集合
两个圆各代表一个集合，圆里是各自的元素，两圆相交处放共有元素。
图解渲染中…
A：红色圆圈，代表第一个集合B：蓝色圆圈，代表第二个集合ab：同时属于两集合的元素，连着A和B两个圈
两个圈的公共部分
小明喜欢苹果和香蕉，小红喜欢香蕉和西瓜。香蕉是他们俩都喜欢的——这个「都喜欢」的部分，就是我们要学的概念。
交集
两个集合都有的元素组成的集合，是它们共有的部分
∩ 符号
A ∩ B 表示 A 和 B 的交集，读作「A 交 B」
维恩图中的交集
两个圆重叠的那一块区域就是交集
两个人都爱吃的水果对应 →两个集合的交集
都喜欢的部分 ↔ 两个集合共有的元素
维恩图中的交集
把两个圆叠在一起，中间重叠那块就是交集
图解渲染中…
SA：左侧的圆，代表集合A的所有元素IN：两圆重叠的中间区域，叫交集A∩BEX：落在交集里的元素，同时属于A和B
找交集的方法
找交集分四步：先分类、再找重复，然后画维恩图、圈出重叠区域。
1
分类整理
把元素按归属分成两组，标清每个元素属于哪个集合
2
找出重复
找同时出现在两组里的元素，这些就是可能的交集元素
3
画维恩图
画两个相交的圆，把元素按位置分别填进去
4
圈出交集
两圆重叠的区域就是交集，把它圈起来明确标出
画图分析三步骤
画图分析分三步走——分类、画圈、标数，顺序不能乱。
1
先分类
看清题目条件，把对象按"是/否"分成不同组
2
再画圈
每组画一个圈，中间重叠部分留给同时符合的人
3
后标数
把每部分人数填进对应区域，重叠处就是答案
分类讨论的思路
一个数属于哪个集合要分清
分类讨论的思路
一个数属于哪个集合要分清
解决"重复"问题
从左往右读这张图：先把两个集合的人数相加，再找出哪里出错，最后修正得到正确的公式。
图解渲染中…
a1：集合A中的元素数量，如8个a2：集合B中的元素数量，如7个d1：关键转折：两个集合是否有公共部分h1：核心公式：总数=A+B-重叠部分
列综合算式
把维恩图的三步分析合写成一道算式，一步算出答案。
1
对应数据
把维恩图里的 A、B、公共部分，分别对应到题目中的已知数据
2
确定运算
总数=A+B−公共部分，因为中间那部分被加了两次要减去
3
合成算式
把分析过程合并，写成一道完整的算式，如 8+6−2=12
4
算出答案
按从左到右顺序计算，写出最终结果并带上单位
集合练习
点击作答
三年级有18人参加绘画，12人参加书法，其中5人两项都参加。参加活动的一共有多少人？
课后思考
先自己想一想，再翻参考答案。三个问题，三个层次——回忆、应用、迁移。
1两个集合画在一起时，中间重叠的那一小块叫什么？它有什么特殊意义？
参考答案叫交集。它代表同时属于两个集合的元素——直接相加会被算两次，所以交集是从'重复'到'不重复'的关键。
2如果统计班里'喜欢猫'和'喜欢狗'的同学，你能用今天的知识画图吗？中间那块代表什么？
参考答案能。两个圈，中间重叠部分代表既喜欢猫又喜欢狗的同学。用加法算总数时，这部分会被重复算一次。
3三个圈能画在一起吗？比如'喜欢水果''喜欢红色''喜欢甜的'，最中间那小块代表什么？
参考答案能。三圆相交的中间部分代表同时满足三个条件的元素。但三集合的重叠关系比两个更复杂，不能简单相加。