章节12：独立随机变量求和；方差和相关性 Lec. 12: Sums of i
数学大学
章节12：独立随机变量求和
概率论——不确定性的科学 · 单元6:随机变量上的进一步话题 Unit 6: Further topics on
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章节12：独立随机变量求和
概率论——不确定性的科学 · 单元6:随机变量上的进一步话题 Unit 6: Further topics on
The sum of independent c
独立连续变量之和的密度 = 两密度卷积：f_Z = f_X * f_Y。
卷积公式
f_Z(z)=∫f_X(x)f_Y(z−x)dx
操作直觉
翻转一条、滑动、逐点相乘积分
The sum of independent n
独立正态之和仍正态：均值相加、方差相加。
参数
X+Y ~ N(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²)
不要求同分布
只要独立，参数各自带来
Covariance
协方差 Cov(X,Y)=E[(X−μ_X)(Y−μ_Y)]：度量同向或反向联动的强度。
符号含义
正为同向波动，负为反向波动
计算式
Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]
Covariance properties
协方差性质：与自身即方差、线性变换带系数、独立时为零。
自身
Cov(X,X)=Var(X)
线性
Cov(aX+b, Y)=a·Cov(X,Y)
独立为零
独立 ⇒ 协方差为零，反之不然
The variance of the sum
和的方差公式：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)。
一般式
协方差项是修正的关键
独立退化
独立时方差直接相加
The correlation coeffici
相关系数 ρ = Cov(X,Y)/(σ_Xσ_Y)：标准化后的线性相关强度。
取值范围
−1 ≤ ρ ≤ 1，±1 为完全线性关系
无量纲
不受单位与尺度缩放影响
Interpreting the correla
相关系数只度量线性相关：ρ=0 不代表独立，更不代表因果。
只看直线
强非线性关系可能 ρ≈0
非因果
相关可能是共同原因造成
Correlations matter
相关性在组合中至关重要：同等方差的资产，相关越高组合风险越大。
组合方差
和的方差被协方差项放大或抵消
分散化
低相关组合才能真正分散风险
相关性自测
点击作答
X 与 Y 独立时，Var(X+Y) 与 Var(X)+Var(Y) 的关系是？
本节要点
- ✓独立和的密度 = 卷积
- ✓正态和仍正态，参数相加
- ✓和的方差含协方差修正项
- ✓相关系数只管线性、不代表因果
延伸主题：推一次卷积计算用协方差算组合方差
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么「独立 ⇒ 不相关」而「不相关 ⇒ 独立」不成立？
参考答案独立使 E[XY]=E[X]E[Y]，协方差为零。但协方差只捕捉线性联动：Y=X² 时 Cov 为零（对称抵消），X 却完全决定 Y——非线性相关被协方差完全 blindness。判断独立性仍需联合分布。
2投资分散化为什么依赖低相关而不是低方差？
参考答案和的方差公式中，跨资产的协方差项决定风险能否互抵。持有大量高相关的资产，方差相加依旧巨大；低相关甚至负相关的组合，协方差为负才能真正压低整体波动。
3协方差的符号计算最容易错在哪一步？
参考答案在 E[XY]−E[X]E[Y] 的展开中漏掉交叉项，或线性变换时忘记系数要相乘（两变量都缩放时系数相乘）。建议每步写出期望的展开式再合并，避免心算跳步。