一次函数

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✦ 一次函数数学一次函数比例系数

数形互译斜率本质线性建模

一次函数

看清斜率与截距的几何意义，掌握图像与表达式的双向互译

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数形互译斜率本质线性建模

一次函数

看清斜率与截距的几何意义，掌握图像与表达式的双向互译

1第 1 页 · 一次函数

两点法作一次函数图象

前面认识了 y=kx+b，知道它表示一条直线。但怎么画到坐标系里？尺子靠不住——几何里有条硬保证：两点确定一直线，这是公理不是推论。今天学的「两点法」就建立在这条公理之上。

理论依据

几何公理：过任意两点有且只有一条直线，两个点就能唯一确定一次函数图象

选点策略

优先选易算的截距点：令 x=0 得 y 轴交点 (0,b)，令 y=0 得 x 轴交点 (-b/k,0)

描点连线

在坐标系中标出两点，用直尺连成一条直线，并标箭头表示两端无限延伸

验证第三点

画完后任取第三个点代入原方程，三点共线才算画对，排除计算和描点错误

两个木桩拉一根绳对应 →两点确定一条直线

绳子两头一旦固定在两个桩上，整条直线的位置就被锁死——再多找几个点，也只能重合在这根绳上

y = kx + b,\ k \neq 0 \Rightarrow \text{两点: } (0,b) \text{ 与 } \left(-\dfrac{b}{k},\ 0\right)

2第 2 页 · 两点法作一次函数图象

数形结合思想

前两页画出了 y=kx+b 的图象。那反过来，从一条直线能不能读出方程？图象不只是画出来的，它和代数式是同一对象的两种说法——这就是数形结合。

一体两面

y=kx+b 与对应直线，描述的是同一对象

数→形

把方程画成图象，抽象的数量关系变得直观

形→数

从直线读出 k（斜率）、b（截距）、零点等信息

典型应用

图象法解不等式：看图直接说出 kx+b>0 的解集

GPS导航对应 →数形结合

经纬度数字是「数」，地图图形是「形」——同一地点，两种描述，按需切换

kx + b > 0 \Leftrightarrow \text{直线 } y=kx+b \text{ 在 } x \text{ 轴上方}

3第 3 页 · 数形结合思想

正比例函数

一次函数 y=kx+b 里有个参数 b，它决定直线在 y 轴的起点。当 b=0 时，直线必须穿过原点——这就是今天的主角：正比例函数。

定义

形如 y=kx（k≠0）的函数，k 称为比例系数

与一次函数关系

是一次函数 b=0 时的特例，是直线族里过原点的那根

图象特征

过原点的直线；k>0 时过一三象限，k<0 时过二四象限

典型应用

描述两量比值固定的关系，如速度一定时路程=速度×时间

没挂重物的弹簧对应 →正比例函数的原点

弹簧自然位置就是'零起点'，挂多重拉多长，伸长量与所挂重量成正比

y = kx \quad (k \neq 0)

4第 4 页 · 正比例函数

比例系数

上一页我们认识了 y=kx 形式的正比例函数。k 到底只是一个系数，还是藏着更多含义？这页拆开看。

定义

y=kx+b 中，k 表示 x 每增加 1 时 y 的变化量

几何意义

k=tan α，反映直线与 x 轴正方向的倾斜程度

符号定方向

k>0 直线上升；k<0 直线下降

|k| 定陡缓

|k| 越大直线越陡，|k| 越小直线越平

实际意义

描述均匀变化的速度，如速度、单价、增长率

上坡下坡对应 →比例系数 k

陡坡↔|k|大，缓坡↔|k|小；上坡↔k>0，下坡↔k<0

k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\tan\alpha

5第 5 页 · 比例系数

一次函数

正比例函数 y=kx 我们已经很熟：过原点、k 决定倾斜。如果给 y=kx 加上常数 b，直线就整体平移 b 个单位——这就是一次函数 y=kx+b。

一般形式

y=kx+b，k≠0；k 是斜率，b 是截距

斜率 k

决定倾斜方向与陡峭程度；k>0 递增，k<0 递减

截距 b

直线与 y 轴交于点 (0,b)，等于把 y=kx 平移 b 个单位

图象特征

一条直线；k 相同则两直线平行，与 y=kx 平行

典型应用

话费=月租+单价×分钟；总成本=固定费+单位成本×数量

出租车计费对应 →一次函数 y=kx+b

起步价 b，每公里 k 元，跑 x 公里共付 y=kx+b

y = kx + b \quad (k \neq 0)

6第 6 页 · 一次函数

一次函数的图象

两点法我们已经用得很熟——找两个点连成线。但这条线本身长什么样？它为什么一定是直的？这页我们来系统认识一次函数的图象。

本质是一条直线

满足 y=kx+b 的所有 (x,y) 组成的点列，恰好共线，构成一条直线

两点定一线

直线上任意两个不同点都唯一确定这条直线，这就是两点法的依据

两个截距

与 y 轴交于 (0, b)，与 x 轴交于 (-b/k, 0)，刻画直线位置

斜率定方向

k>0 时上升，k<0 时下降，|k| 越大直线越陡峭

数形结合的舞台

图象是代数到几何的桥梁：看交点、判大小、解不等式都依赖它

两颗钉子绷一根绳子对应 →两点确定一次函数图象

钉子是两个点，绷直的绳子就是那条直线——两点钉死，整条线就唯一确定

y = kx + b \ (k \neq 0)

7第 7 页 · 一次函数的图象

直线平移与一次函数关系

我们已经会用两点法画一次函数图象。把 y=2x+1 这条线整体往上挪一格、往右拖两格——形状变了吗？k 和 b 谁在变？怎么变？

斜率 k 不变

平移是整体移动，倾斜程度 k 保持不变

截距 b 会变

b 的新值由平移方向和距离决定

上下平移：b 增减

上移 m，b 加 m；下移 m，b 减 m

左右平移：x 替换

右移 n 得 k(x-n)+b；左移 n 得 k(x+n)+b

可平移的箭头对应 →直线平移

箭头方向（斜率）不变，整体挪动只改变起点（b 变）

y = kx + b \xrightarrow{\text{右移 }n} y = k(x-n) + b

8第 8 页 · 直线平移与一次函数关系

一次函数的增减性

上一节我们看到，k 的正负决定了直线的升降方向。那么对具体的 x 值变化，y 会跟着怎么变？这就是一次函数的增减性要回答的问题。

定义

k>0 时 y 随 x 增大而增大；k<0 时 y 随 x 增大而减小

只看 k

增减性由 k 的符号唯一决定，b 取何值都不影响方向

几何对应

直线上升 ↔ 递增；直线下降 ↔ 递减

应用：比大小

已知 x₁<x₂，可由 k 的符号直接判断 y₁、y₂ 大小

骑车上坡或下坡对应 →k>0 递增 / k<0 递减

k 就是坡的方向：上坡时往前走（x 增大）位置变高（y 增大）

y = kx + b \ (k \neq 0), \quad k>0 \text{ 递增},\ k<0 \text{ 递减}

9第 9 页 · 一次函数的增减性

函数与方程的关系

你已经会画 y=2x+1 的图象，知道它是一条斜向上的直线。那如果反过来问：方程 2x+1=0 怎么解？答案是 x=-1/2——这个解，其实早就「藏」在那条直线与 x 轴的交点里了。

f(x)=0 的几何意义

y=f(x) 与 x 轴交点的横坐标，就是方程的根

f(x)=c 的几何意义

y=f(x) 与水平线 y=c 交点的横坐标，就是方程的解

f(x)=g(x) 的几何意义

两条函数图象交点的横坐标，就是方程的解

代数与几何互译

方程求根 ↔ 图象交点，方法互通，视角可自由切换

自动售货机对应 →函数与方程

机器是函数，按按钮(x)掉饮料(y)；「按哪个按钮能拿到可乐」就是解 f(x)=c

f(x) = c \iff y = f(x) \text{ 与 } y = c \text{ 交点的横坐标}

10第 10 页 · 函数与方程的关系

函数与不等式的关系

上一页我们用图象找到了方程 kx+b=0 的解——直线与 x 轴的交点。那把等号换成大于号或小于号，图象还能继续用吗？

不等式的几何意义

kx+b>0 表示图象位于 x 轴上方，<0 表示位于 x 轴下方

零点为分界

直线与 x 轴的交点把数轴分成两段，两侧函数值正负不同

解集=图象区域

不等式的解集就是图象在 x 轴上方（或下方）那段横坐标的取值范围

三类对应

方程解=交点横坐标；>0 解集=上方区间；<0 解集=下方区间

x 轴是水平面对应 →不等式判断图象位置

图象在水面之上 y>0、在水面之下 y<0、与水面齐平 y=0

kx + b > 0 \Leftrightarrow \text{图象在 x 轴上方}

11第 11 页 · 函数与不等式的关系

二元一次方程组的图象意义

前面我们学过：一个一元一次方程对应直线上一个点。那如果把两个方程放在一起呢？它们各自对应一条直线，两条直线的关系就是方程组的图象意义。

方程组对应两条直线

每个二元一次方程都表示坐标系中的一条直线

解就是交点坐标

同时满足两方程的(x,y)，正是两直线的公共点

三种位置关系

相交有唯一解；平行无解；重合有无穷多解

数形结合判断解的情况

不必算出交点，看图象就能判断解的存在与个数

两条路的交叉口对应 →两直线的交点

每条路是一条直线，交叉口就是同时属于两条路的唯一位置

\begin{cases} y = k_1 x + b_1 \\ y = k_2 x + b_2 \end{cases}

12第 12 页 · 二元一次方程组的图象意义

本节要点

✓k管方向与陡缓，b管上下位置
✓k>0递增、k<0递减，|k|越大线越陡
✓函数、方程、不等式、方程组本质是同一条线
✓零点即x轴交点，两线交点即方程组解

延伸主题：反比例函数图象二次函数性质入门一次函数建模应用

13第 13 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考再对照答案，看看哪些是真懂、哪些是似懂非懂。

1一次函数 y=kx+b 中，k 和 b 各自决定图象的什么特征？

参考答案k 决定斜率与增减性，b 决定直线与 y 轴交点。平移图象时仅 b 变，k 保持不变。

2现实中哪些量与时间近似满足一次函数关系？举一例并说明 k 的实际意义。

参考答案如出租车计费 y=kx+b：k 是每公里单价，b 是起步价。k 就是自变量每增 1 时因变量的变化量。

3当 k=0 时，y=kx+b 还算一次函数吗？k 趋近 0 时图象会怎样变化？

参考答案不算。k=0 时 y=b 是常函数，图象为水平线；k 越接近 0，直线越平，最终与 x 轴平行。

14第 14 页 · 课后思考