电容器的电容（一）

官官方物理老师·12 页·深入（追求细节与边界）·0 次浏览·3 天前

✦ 电容器的电容（一）物理电容器的电容（一）极板

电容电容器静电场储能

电容器的电容（一）

从孤立导体到电容器，看清电容的定义由来、决定因素与它衡量电荷能力的本质

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电容电容器静电场储能

电容器的电容（一）

从孤立导体到电容器，看清电容的定义由来、决定因素与它衡量电荷能力的本质

1第 1 页 · 电容器的电容（一）

通过实验归纳物理量的定量

实验台上给同一个电容器加不同电压U，测出对应的电荷量Q，画出Q-U图——一条过原点的直线。换一个电容器又做一遍，仍是直线，但斜率不同。这斜率就是我们要找的物理量。

实验规律

同一电容器，Q与U成正比（Q-U图为过原点直线）

比值定值

比值Q/U是定值；不同电容器，此定值不同

定义电容

把这个定值命名为电容C，写成C=Q/U

单位法拉

1F=1C/V；1F很大，常用μF、nF、pF

固有属性

C由电容器本身决定（结构、介质），与Q、U无关

水桶的粗细对应 →电容器的电容C

同样水压下粗桶装水多，同样电压下大C储电多；C=Q/U 即'单位电压下的储电量'

C = \dfrac{Q}{U}, \quad 1\text{F} = \dfrac{1\text{C}}{1\text{V}}

2第 2 页 · 通过实验归纳物理量的定量

由I-t图像用面积求电荷量

上一页我们用电荷量Q和电压U来定义电容，但Q本身怎么测？电流表和时间比电荷量容易得多。好在电流本身就是电荷流动的快慢——把'快慢'在时间上累积起来，就是总电荷。

电流的定义

I = ΔQ/Δt，单位时间流过的电荷量，是电荷流动的'快慢'

积分求电荷

Q = ∫I dt，把瞬时电流在时间上累积

面积的几何意义

I-t图像与t轴所围面积，等于通过的电荷量

恒定电流特例

I不变时Q = I·t，对应矩形面积，最简单

变化电流的处理

切成很多小段近似矩形求和，极限下即为积分

水龙头注水对应 →I-t图像求电荷

流量(升/秒)对应电流(库/秒)；总水量=流量-时间图面积，正如总电荷=电流-时间图面积

Q = \int_{t_1}^{t_2} I\, dt

3第 3 页 · 由I-t图像用面积求电荷量

电容器

上一节我们用 I-t 图像的面积算出了电荷量——这意味着我们研究的装置能把电荷'装起来'。它到底是什么、长什么样，这一节先把它拆开看。

基本结构

两块相互靠近、彼此绝缘的导体，构成储存电荷与电能的元件

充电过程

接通电源后，等量异种电荷分别聚集在两导体上，板间建立电场

核心功能

储存电荷 Q，同时以电场能的形式储存电能

常见形式

平行板电容器最典型，还有圆柱形、球形、可变电容器等

蓄水池对应 →电容器

蓄水池按需存水放水，电容器按需存电荷与电能；两边水位差对应电压。

4第 4 页 · 电容器

平行板电容器

上一节我们知道任何两个彼此绝缘的导体都能储存电荷。其中最典型、应用最广的就是平行板电容器——两块平行的金属板正对放置，中间夹着绝缘介质。

结构

两块平行金属板，正对面积 S，板间距离 d，板间为电介质或真空

电荷分布

等量异号电荷仅分布于两板相对的内表面，外表面无净电荷

板间电场

近似均匀，方向由正板指向负板；理想情况下 E = U/d

电容公式

C = εS/d；正对面积越大、间距越小、介质 ε 越大，C 越大

边缘效应

实际板边缘电场向外发散，使实测 C 略大于公式理想值

面对面靠着的两块磁铁对应 →平行板电容器

正负电荷像异性磁极，分别贴在两板内表面相互吸引；板越近，拉得越紧

C = \dfrac{\varepsilon S}{d}

5第 5 页 · 平行板电容器

极板

上一节认识了平行板电容器——它由两块平行放置的'板'构成。为什么必须是导体？这两块板在电容器里到底扮演什么角色？电荷又藏在哪里？这一节我们来拆开看。

极板的本质

两块平行放置的导体板（如金属），分别带等量异号电荷，是电容器储存电荷的'舞台'

电荷分布规律

静电平衡后，正负电荷只分布在两板的内表面（面对面那一面），外表面几乎没有

理想化假设

教材默认极板'无限大'，目的是让板间电场处处均匀，避开复杂的边界问题

边缘效应

真实极板边缘的电场线向外弯曲，中央近似均匀、边缘畸变；教材公式对有限极板其实是近似

两排对放的停车位对应 →平行板电容器的极板

正负电荷像两排车各停一面，中间留出走道就是电场；车位越多、排列越紧凑，能停的车就越多

\sigma = \dfrac{Q}{S}

6第 6 页 · 极板

电介质

前面讨论了平行板电容器：C 与极板面积 S、板距 d 有关。但真实电容器里很少是真空，通常会塞一层绝缘材料。它会怎样影响 C？又有何边界？这页来展开。

电介质

填在极板间的绝缘材料，常见空气、塑料薄膜、陶瓷、云母

极化

分子内正负电荷中心被外电场反向扯开，等效削弱原电场

相对介电常数 εᵣ

C = εᵣε₀S/d，εᵣ 越大电容越大，真空 εᵣ=1

击穿电压

电压超过此值，电介质变导体，电容器永久损坏

常见 εᵣ

空气≈1、塑料≈3、云母≈6、钛酸钡陶瓷可达上千

指南针被磁铁拨动对应 →分子被外电场极化

指南针本身不磁化，被磁场扳向一致；分子本来电中性，电荷中心被外场扯偏，等效屏蔽部分电场

C = \varepsilon_r \varepsilon_0 \frac{S}{d}

7第 7 页 · 电介质

电容（电容器的电容）

前页认识了电容器的基本结构——两片极板夹着电介质。不同电容器储存电荷的'本领'不一样，该如何定量描述？这就需要引入一个全新的物理量：电容。

定义

电容C等于一个极板所带电荷量Q与两板间电压U的比值

物理意义

描述电容器容纳电荷本领的物理量，C大则同电压下能存更多电荷

定义式≠决定式

C由电容器本身决定（极板面积、间距、电介质），与Q、U无关

单位

法拉（F），1F=1C/V；常用μF、pF，1F=10⁶μF=10¹²pF

典型应用

闪光灯储能、滤波电路、触摸感应、键盘按键感应等

水桶对应 →电容器

桶横截面积越大，同样水位差下能装水越多；电容越大，同样电压下能存电荷越多

C = \dfrac{Q}{U}

8第 8 页 · 电容（电容器的电容）

法拉

上一页得到 C = Q/U，电容 C 也有自己的国际单位。但这个单位大到几乎造不出来——它叫法拉。

定义

1 F = 1 C/V，1 库仑电荷产生 1 伏特电压

实际单位

常用 μF、nF、pF，因为 1 F 巨大到几乎造不出来

命名由来

纪念英国物理学家法拉第对电磁学的奠基性贡献

水库容积单位「立方米」对应 →电容单位「法拉」

立方米用着刚好；法拉却是「大得造不出来」，实际都是其百万甚至亿分之一

1\,\text{F}=\dfrac{1\,\text{C}}{1\,\text{V}}

9第 9 页 · 法拉

微法

上一页我们刚认识法拉，但 1 F 的电容在现实里几乎造不出来——它意味着 1 V 电压下储存 1 C 电荷，需巨大极板。工程上用得更频繁的，是微法。

微法的量级

1 μF = 10⁻⁶ F，相当于法拉的一百万分之一

为什么用它

法拉级电容几乎造不出，电子元件普遍落在微法以下

现实角色

电源滤波电容几百 μF，耦合、退耦几到几十 μF，最常见的贴片元件

相邻单位

更小还有纳法 nF (10⁻⁹ F) 与皮法 pF (10⁻¹² F)，多见于高频回路

公里标城际、米标室内对应 →微法标电路、法拉标理论

基本单位与常用单位相差几个数量级，工程里真正动手的是常用单位

1\,\mu\text{F} = 10^{-6}\,\text{F}

10第 10 页 · 微法

本节要点

✓C=Q/U 是实验比值，C 不随 Q、U 改变
✓电容由结构决定：面积、间距、介质
✓平行板 C=εS/(4πkd)，三要素齐现
✓法拉是极大单位，实际用 μF、pF

延伸主题：电容器的串联与并联电容器的储能公式介电常数与击穿电压

11第 11 页 · 本节要点

课后思考

先自己想，再翻参考答案对照思路。

1为什么把电容定义为 C=Q/U 而不是别的方式？换成 Q²/U 这样的比法行不行？

参考答案电容描述的是电容器'储存电荷的能力'这一固有属性,类似密度 ρ=m/V。Q 改变时 U 等比例变,比值不变;换比法则随 Q 变化,失去这层意义。

2若平行板电容器的正对面积 S 变为 2 倍、极板间距 d 减为一半,电容 C 变成原来的几倍?

参考答案由 C 与 S 成正比、与 d 成反比,代入可得 C'=(2S)·(d/2)^(-1)·常数=4C,即变为原来的 4 倍。

3电容器接电源充电后断开电源,再减小极板间距,Q 和 U 哪个不变?哪个变?怎么变?

参考答案断开电源后极板上 Q 守恒不变;但 C 随 d 减小而增大,再由 U=Q/C 推出 U 反向变化——d 减小则 U 减小。

12第 12 页 · 课后思考