你举着十公斤的哑铃纹丝不动，撑了三十秒——肌肉酸得发颤，但从物理学角度看，你这段时间做的功恰好等于零。这个反直觉的事实，正是「功」这个概念最锋利的入口。

先看 F-d 图的微元推导，再看三种特殊情形如何对应不同面积。

上一页我们看到，功等于 F·s·cosθ，其中 cosθ 可正可负、可为零。这意味着同一个力，做功的「效果」可能天差地别——背后真正起决定作用的，是力与位移之间的夹角。

正功表示能量传入研究对象，负功表示能量传出；最容易误把功的符号当成能量总量。

上一页用 cosθ 把正功、负功区分开了。现在回到公式本身——W = F·d·cosθ 到底是怎么来的，每个符号又意味着什么？

算 W=Fs cosθ 看似一步到位，其实前提是把三件事各自想清楚。

前面学的功都是一个力做的功。可现实中物体往往受多个力——推力、摩擦力、重力同时作用。这时总功怎么算？一条等式直接给出捷径。

求合力做功有两条等价路径，殊途同归，选择看场景。

看图理解：力与位移不同向时，沿位移方向分解可使功的计算变简单

两个人把同样多的砖搬到三楼，一个用 10 分钟，一个用半小时。功一样多，但快慢悬殊。描述这种'做功快慢'的物理量，就是功率。

功率是能量转化的快慢——顺箭头读图，看它与能量、时间如何挂钩

前面我们说功率描述「做功快慢」。但光凭感觉不够——两个工人，一人 1 小时搬 50 块砖，另一人 2 小时搬 80 块，谁更快？必须用「功 / 时间」这个统一指标量化。这就是功率的定义式 P = W/t。

上页讲到 P=W/t 是平均功率。当力是恒力时，把 W=F·s·cosθ 代进去，再令 Δt→0——s/Δt 收敛到瞬时速度 v，平均功率的极限就是瞬时功率。

两个名字都叫功率，但一个看全程、一个看瞬间——别再混了。

上页我们把功按效果拆开看，现在回到力本身——一个斜向力作用在物体上时，怎么把它拆开分析？物理上有两种基本分解方法。

把力沿速度方向和垂直方向拆开，分别算各分力的功率再相加。

斜面拉箱问题中，从已知量到功率的两条分解路径，最终殊途同归到 P=Fvcosθ。

前页算出的功率都是某一时刻的'实际功率'。那铭牌上印的那个数呢？——它叫额定功率，是机器允许长期跑的最大值。

左右分栏：左路"恒定加速度"，右路"恒定功率"，逐节点看 F、a、v、P 各自怎么变。

按“判模型—列方程—解过程—核边界”统一处理机车启动中的功率问题。

汽车以额定功率P从静止启动,所受阻力f恒定。下列说法正确的是?

• ✓功是标量过程量，正负由力与位移夹角决定
• ✓合力功等于各分力功的代数和，可拆可合
• ✓平均功率描述过程，瞬时功率描述当下
• ✓P=Fv 是连接力、速度、功率的核心桥梁
• ✓机车启动是额定功率限制下 F 与 v 的此消彼长

先独立思考，再看参考答案——三个问题层层递进：回顾、应用、拓展。