函数

官官方数学老师·12 页·进阶（有基础，想深入原理）·0 次浏览·3 天前

✦ 函数数学函数变量

一次函数图像性质数形结合斜率截距

函数

看透斜率、截距背后的几何直觉，掌握一次函数的图像与性质

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一次函数图像性质数形结合斜率截距

函数

看透斜率、截距背后的几何直觉，掌握一次函数的图像与性质

1第 1 页 · 函数

描点法画函数图象

描点法画函数图象：定义、要点与典型应用

描点法画函数图象

描点法画函数图象：定义、要点与典型应用

2第 2 页 · 描点法画函数图象

变量

描点画图象时，你不停给 x 换不同的数，记下对应的 y。这两个'会动的角色'，就是变量。

变量的形式

一个名字，对应一个可变的值——名字固定，值可以换

自变量与因变量

f(x) 中 x 自己取值，y 的值由 x 决定

相对常量而言

常量：名字固定 + 值固定；变量：名字固定 + 值可变

变量的用途

为重复出现的值起名，让表达简洁、可推广

贴了名字的盒子对应 →变量

盒子名字（变量名）不变，里面装的东西（值）可以更换

3第 3 页 · 变量

常量

上一节我们聊了变量——值可以改变。但函数里还有另一类"定海神针",值从头到尾都不变,这就是常量。

什么是常量

运算过程中值始终不变、起固定基准作用的量

常量与变量

变量值可变,常量值固定,二者共同构成函数的两类元素

常见数学常量

π≈3.14159、e≈2.71828,代表客观世界的不变规律

命名常量的好处

用有意义的符号代替数字,提高可读性与可维护性

对照实验里的对照组对应 →常量

对照组条件保持不变,只让自变量变化,才能看清因果关系

4第 4 页 · 常量

自变量

上一节我们区分了常量与变量。但同样「会变」，地位不一样：比如气温先变，你穿多少衣服跟着变——气温先动。今天拆开看：这种先动、决定别人的一方，叫什么；下页再讲它的反面。

定义

在 y=f(x) 中，x 是自变量，它的取值决定 y（因变量）的取值

主动变化

「自」字核心是「自己先变」：自变量先动，因变量被动跟随

定义域约束

自变量不能任意取值，必须落在定义域 D 内，如 y=1/x 中 x≠0

谁当自变量

由研究目的决定：研究时间对路程，t 是自变量；反过来，s 才是自变量

汽车油门与车速对应 →自变量与因变量

油门踩多深（自变量）决定车速多少（因变量），单向因果，不能反过来

y = f(x), \quad x \in D

5第 5 页 · 自变量

函数

你已经会用描点法画图象，也认识变量和自变量。但数学家凭什么判断「这算函数、那不算」？三件事必须同时具备。

本质是对应关系

函数不是公式，而是从输入到输出的映射规则

三个要素

定义域、值域、对应关系——三者共同唯一确定一个函数

唯一性约束

每个 x 只能对应唯一的 y，这是函数与一般关系的根本区别

典型应用

把现实问题抽象为数学对象：建模、变换、优化

自动售货机对应 →函数

投币口=定义域，按钮=对应关系，取物口=值域；一枚硬币只掉一样东西，对应唯一性

f: A \to B,\quad \forall x \in A,\ \exists!\, y \in B,\ y = f(x)

6第 6 页 · 函数

函数值

前面讲到自变量与因变量的对应规则 f，但「具体到一个 x，对应的 y 到底是多少」还没说清。比如 f(x)=2x+1，x 取 3 时 y 是几？这个具体的数，就是函数值。

函数值的定义

当 x 取定一个值 a 时，因变量随之确定的唯一数值，叫 x=a 时的函数值

对应唯一

一个自变量只能对应一个函数值；但同一个函数值可以来自不同自变量

记号 f(a)

f(a) 表示 x=a 时的函数值，是一个具体的数，不是含字母的式子

与值域的关系

所有函数值的集合叫值域；反过来已知函数值求 x，等价于解方程

自动售货机对应 →函数值

投入硬币按按钮=x,机器内部定价=f,吐出来的那瓶饮料=f(x)

f(3)=2\times 3+1=7

7第 7 页 · 函数值

函数的解析式

描点法是一个点一个点地算再连线。其实有个更直接的「配方」——拿到它,任意给一个 x,瞬间算出 y,整条曲线都能推导出来。这就是解析式。

解析式定义

用含自变量 x 的等式表示 y 与 x 的对应关系,记作 y=f(x)

唯一确定性

x 在定义域内取任意值,y 由解析式唯一算出,无需列表或描点

三种表示核心

解析式、表格法、图象法中,解析式最精确、最便于代数运算

典型应用:建模

从计费、行程等实际问题中提炼变量关系,写出解析式

菜谱对应 →解析式

原料 x 按步骤算出菜 y,拿到菜谱换任何原料都能做

y = 2x + 1 \;\Longleftrightarrow\; f(x) = 2x + 1

8第 8 页 · 函数的解析式

函数的图象

前面用解析式规定了输入与输出的对应关系。现在把函数值表里的每一对数落到坐标纸上，规则就显出了“形状”。

图象定义

坐标系中所有点 (x,f(x)) 的集合，x 取遍定义域 D；定义域离散时是散点，连续时可连成曲线。

横纵坐标

横坐标表示自变量 x，纵坐标表示对应函数值 f(x)；二者不能互换。

定义域与值域

图象向横轴的投影对应定义域，向纵轴的投影对应值域（所有函数值的范围）。

交点与符号

与 x 轴交点的横坐标是 f(x)=0 的解；点的上下位置直接给出 f(x) 的正负号。

读图与检验

给定 x 可直接读出 f(x)，还可比较增减趋势；任意竖线至多一个交点。

一趟列车的时刻表对应 →函数图象

每个“时间—路程”记录落成一个点；横坐标找时刻，纵坐标找路程，连线只帮助观察趋势。

\mathcal{G}_f=\{(x,f(x))\mid x\in D\}

9第 9 页 · 函数的图象

半衰期

上页我们用函数和图象描述变化。现在看一种特殊的衰减规律——医院做 PET 检查时，往体内注入的放射性示踪剂，每过一段时间原子数就减半。这个『一段时间』就叫半衰期。

半衰期的定义

某量减少到初始值一半所经历的时间，记作 T

用函数表达

N(t)=N₀·(1/2)^(t/T)，T 越大衰减越慢

在图象上看

指数衰减曲线上，每过一个 T 纵坐标就减半一次

「半」与起点无关

无论从 100 还是 1000 起，半衰期都相同，是比例性时间

每次加等量清水稀释浓度一半对应 →半衰期的等比递推

「稀释一次」对应「量减半」，每次操作固定时间=T

N(t)=N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}

10第 10 页 · 半衰期

本节要点

✓函数的本质：变量间的唯一对应关系
✓解析式与图象是同一函数的两种等价语言
✓描点法架起从代数到几何的桥梁
✓常量与自变量的区分，决定函数值域
✓半衰期等实例：函数是描述变化规律的模型

延伸主题：函数的定义域与值域函数的单调性与奇偶性一次函数与二次函数

11第 11 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考，再对照参考答案。三题递进：定义本质、变量替换、确定性边界。

1函数要求『每个 x 对应唯一一个 y』。反过来『每个 y 也只对应唯一一个 x』算附加条件吗？

参考答案不算。那叫单射，是函数的特殊情形。函数允许『多对一』，但禁止『一对多』。

2半衰期中，已知剩余质量 m 反推经历时间 t，自变量换了，还算函数吗？

参考答案仍是函数。换的是自变量名称，『每个输入对应唯一输出』这条没变。

3若半衰期每次剩余质量都随机浮动 ±5%，函数关系还成立吗？说说理由。

参考答案不再成立。同一时刻可能对应多个剩余质量，违反『一个 x 一个 y』。函数暗含确定性。

12第 12 页 · 课后思考