小数的意义和性质

官方数学老师·13 页·入门(第一次接触这个概念)·0 次浏览·3 天前
小数分数基础几何直观入门

小数的意义和性质

看图就懂:把整数像切蛋糕一样"切"成小数

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小数分数基础几何直观入门

小数的意义和性质

看图就懂:把整数像切蛋糕一样"切"成小数

1第 1 页 · 小数的意义和性质

比较小数大小的方法

比较 0.5 和 0.46 谁大?位数多的 0.46 反而比 0.5 小——这个反直觉的结论,正是今天要破解的。

先比整数部分
整数部分大的小数就大,如 3.7 > 2.9
整数相同比十分位
十分位数字大的小数就大,如 0.5 > 0.4
十分位还相同
继续比百分位、千分位,方法和比整数一样
位数多 ≠ 大
0.5 > 0.456,因为整数都是 0,但十分位 5 > 4
买零食看价签对应 →逐位比较小数

整数部分像「元」,小数部分像「角分」,先比大单位再比小单位

2第 2 页 · 比较小数大小的方法

将分数转换成小数的方法

比较小数大小你刚学过,但很多小数原本是分数。这一页学三种'翻译'方法,让分数小数自由切换。

分数化小数的含义
把分数改写成等值的小数,是同一个数的另一种表示
分母是10、100等
看分子写小数点后,如3/10=0.3、7/100=0.07
分母先变特殊值
用分数基本性质同乘倍数,如1/4=25/100=0.25
万能:分子÷分母
任何分数都能除,如1/4=1÷4=0.25
同一块披萨对应 →分数和小数

3/10和0.3指同一份披萨,只是写法不同而已

ab=a÷b\frac{a}{b} = a \div b
3第 3 页 · 将分数转换成小数的方法

将不同单位化为同一单位的

一支铅笔长1分米,一块橡皮长9厘米——谁更长?数字看着差不多,得先把单位统一才好比。

统一单位的必要性
不同单位的数不能直接比,如1分米和9厘米谁大,必须先换成同一单位
高级→低级单位
高级单位数×进率=低级单位数,小数点向右移,如0.5米=50厘米
低级→高级单位
低级单位数÷进率=高级单位数,小数点向左移,如80厘米=0.8米
进率是关键
长度相邻进率是10或100;人民币进率是10;换算前必须先看清进率
零钱换整钱对应 →单位换算

10个1角换成1元,就像把厘米换成米——本质都是按进率打包

4第 4 页 · 将不同单位化为同一单位的

小数的意义

你买文具花 3 元 5 角,老板找零时说 '3 块 5'——其实就是 3.5 元。同一个意思有了新写法,那个小数点后面数字到底代表多少?这节课就来弄明白。

什么是小数
分母是 10、100、1000…的分数,可以写成小数,如 1/10 写成 0.1
小数点
一个小圆点,左边是整数部分,右边是小数部分
数位与计数单位
小数点后依次是十分位、百分位、千分位,对应 0.1、0.01、0.001
小数的用途
长度、重量、价格不够 1 个整数单位时,用小数表示更方便
1 米尺子平均分成 10 份对应 →十分位的含义

1 份就是 1 分米 = 0.1 米,正好对应小数点后第一位的意思

5第 5 页 · 小数的意义

小数的计数单位

上页我们学了把不同单位化成同一单位——1分米等于0.1米,1厘米等于0.01米。那么0.1、0.01这些基本小块到底叫什么?它们之间又有什么关系?这就要认识小数的计数单位。

十分位的计数单位
把1平均分成10份,每一份就是0.1;3个0.1就是0.3
百分位的计数单位
把1平均分成100份,每一份就是0.01;7个0.01就是0.07
千分位的计数单位
把1平均分成1000份,每一份就是0.001;5个0.001就是0.005
相邻单位进率是10
10个0.001是0.01,10个0.01是0.1,每相邻两个都是10倍
人民币元角分换算对应 →相邻小数计数单位

1角等于0.1元等于10个1分;1分等于0.01元;10个1分才凑成1角,每相邻单位都是10倍

10×0.001=0.0110×0.01=0.110×0.1=110 \times 0.001 = 0.01 \quad 10 \times 0.01 = 0.1 \quad 10 \times 0.1 = 1
6第 6 页 · 小数的计数单位

小数的数位顺序

上页我们认识了 0.1、0.01、0.001 这些计数单位,那它们在一个小数里各自待在哪个位置?就像整数有「个位、十位」,小数也有自己的「十分位、百分位」——今天就来给小数的数位排排队。

小数点是分界线
它把一个数分成整数部分和小数部分
整数部分的数位
个位、十位、百位、千位……(旧知识)
小数部分的数位
十分位、百分位、千分位、万分位……(新知识)
数位排列顺序
小数点左边由右向左越来越大,右边由左向右越来越小
相邻数位进率都是10
不管整数部分还是小数部分,相邻数位倍率都是十进
人民币的元角分对应 →小数点两边的数位

3.25元=3元2角5分;元→个位、角→十分位、分→百分位,进率都是10

7第 7 页 · 小数的数位顺序

小数的性质

一支笔 0.5 元,写成 0.50 元,店员还是只收你 5 角。换了一种写法,小数大小竟然没变——这背后就是今天要学的性质。

末尾添0或去0
在小数的末尾添上「0」或去掉末尾的「0」,小数的大小不变
「末尾」很关键
只有末尾的0可添可去;中间的0不能动,例如0.05≠0.5
为什么要学
比较时末尾添0能统一位数,方便比大小
5角的两种写法对应 →小数末尾添0或去0大小不变

5角=0.5元=0.50元,花出去都是同一笔钱

8第 8 页 · 小数的性质

小数点移动规律

上页学了末尾添0或去0,小数大小不变。这页再走一步——移动小数点会怎样?从换钱说起:3.5元换成角是35角,数值大了10倍。小数点到底往哪挪?

乘10/100/1000…向右移
小数乘以10、100、1000……小数点依次向右移动1位、2位、3位……
除以10/100/1000…向左移
小数除以10、100、1000……小数点依次向左移动1位、2位、3位……
位数不够用0补
向左移整数部分不够、或向右移末尾不够时,要用0补位
元和角的换算对应 →小数点移动

元→角数值变大10倍,小数点向右移1位;反之向左移

9第 9 页 · 小数点移动规律

小数的近似数(四舍五入)

超市苹果 9.99 元一斤,但你结账时不会真的付 9.987 元——付钱根本用不到那么多小数位。生活中很多场合,我们只要一个「差不多」的数就够了。

什么是近似数
精确值算不出来或根本用不到时,用一个接近的简单数代替原来的数
四舍五入方法
看要保留位后面紧邻的一位:0~4 舍去,5~9 往前进 1
9 进位要往前推
要进位的那位正好是 9 时,它变 0,同时再往前一位进 1
秤显示苹果重 1.247 千克对应 →收银员报价「约 1.2 千克」

第二位小数是 4(小于 5),直接舍掉——这就是「四舍」

3.8463.85(保留两位,651)3.846 \approx 3.85 \quad (\text{保留两位,}6\geq5\text{进}1)
10第 10 页 · 小数的近似数(四舍五入)

小数与单位换算

买一支铅笔 0.5 元,付款时也可以说 5 角——同一个价格,为什么两种写法都对?因为小数和单位换算本就是一对搭档:单位换一换,数字就得跟着变。今天我们拆开看看。

进率
相邻两个单位之间的倍数关系,如1米=10分米,进率就是10
大化小
高级→低级:用进率乘原数,小数点向右移动几位
小化大
低级→高级:除以进率,小数点向左移动几位
常用进率
长度10、面积100、体积1000、质量1000、人民币10
多单位写法
1.5米=15分米=150厘米,本质是同一个长度
1元换10个1角对应 →高级变低级单位

数字变大、单位变小,倍数就是这两个单位之间的进率

11第 11 页 · 小数与单位换算

本节要点

  • 小数本质是十进制分数,分母是10、100、1000…
  • 比较小数先比整数部分,再逐位比小数部分
  • 小数末尾添0或去0,大小不变
  • 小数点右移数值变大,左移数值缩小
  • 近似数用四舍五入,看保留位的下一位
延伸主题:小数的加减法运算循环小数与无限小数小数的实际应用
12第 12 页 · 本节要点

课后思考

先自己琢磨,再看参考答案。问题没有唯一答案,欢迎多想几种。

1为什么 0.5 和 0.50 写出来不一样,大小却相等?

参考答案小数的基本性质:末尾添 0 或去 0 大小不变。0.5 是 5 个 0.1,0.50 是 50 个 0.01,单位不同但总数都是 0.5。

2把一个小数的小数点向右移动两位,原数会发生什么变化?

参考答案扩大到原来的 100 倍。每位数字所在数位都变了,计数单位从 0.01 变成 1,整体就是原数的 100 倍。

3生活中哪些场景用近似小数比精确值更合适?

参考答案商品标价、长度测量、统计数据等。四舍五入保留合适位数更简洁,不必纠结尾数。

13第 13 页 · 课后思考