章节11：派生分布Lec. 11: Derived distributions
数学大学
章节11：派生分布Lec. 11:
概率论——不确定性的科学 · 单元6:随机变量上的进一步话题 Unit 6: Further topics on
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章节11：派生分布Lec. 11:
概率论——不确定性的科学 · 单元6:随机变量上的进一步话题 Unit 6: Further topics on
The PMF of a function of
离散函数变换：Y=g(X) 的 PMF 把相同函数值的概率合并相加。
合并规则
多个 x 映到同一 y 时概率相加
操作
逐取值代入、归并、列表
A linear function of a c
连续变量的线性变换：密度整体平移与缩放。
公式
Y=aX+b 的密度按 1/|a| 缩放并平移
正态特例
正态的线性变换仍是正态
A linear function of a n
正态的线性函数：均值线性变化，方差乘系数平方。
参数映射
Y=aX+b ⇒ μ_Y=aμ+b，σ_Y=|a|σ
标准化回链
任何正态都能由标准正态线性生成
The PDF of a general fun
一般函数 g 的密度公式：按 |g′(x)| 在原密度上加权。
公式形态
f_Y(y)=Σ f_X(xᵢ)/|g′(xᵢ)|
求和原因
多解时每个反解分支各贡献一份
The monotonic case
单调情形最简：唯一反解，密度乘上导数倒数的绝对值。
公式
f_Y(y)=f_X(x(y))·|dx/dy|
直觉
拉伸处密度被摊薄，压缩处被聚拢
The intuition for the mo
单调公式直觉：微元守恒——密度乘微元长度在变换前后不变。
微元守恒
f_X(x)|dx| = f_Y(y)|dy|
检查手段
积分全程为 1 可自查公式对错
A nonmonotonic example
非单调例：X² 的分布——两个原值贡献同一新值，密度相加。
分段反解
y=x² 对正负 x 各有一支
合并
两支密度相加，端点处密度发散仍可积
A function of multiple r
多变量函数：一般用联合密度在区域上积分或换元（雅可比）。
积分法
先求 CDF 再求导最稳妥
雅可比预告
可逆变换用多元雅可比公式
本节要点
- ✓离散变换：合并同值概率
- ✓单调公式：密度乘 |dx/dy|
- ✓非单调：多支反解密度相加
- ✓多变量函数：CDF 法或雅可比
延伸主题：推导 X² 的密度验证正态线性变换参数
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1变换公式里的 |dx/dy| 在直觉上是什么？
参考答案它是微元长度的伸缩比：g 把 x 轴上的小段 dx 拉伸成 y 轴上的 |g′|·dx，概率不变则密度必须按比例反向缩放。哪里被拉伸，哪里密度就被摊薄。
2非单调变换为什么必须「分支持有的密度相加」？
参考答案同一个 y 值有多个原像 x，每个原像附近的小段概率质量都流向这个 y。事件 {g(X)∈dy} 是多个 {X∈dxᵢ} 的并，互斥故概率相加——合并发生在密度层面。
3线性变换下正态「仍是正态」有什么工程意义？
参考答案测量误差多为正态时，其线性组合（加权平均、差值）也保持正态，置信区间的构造因此始终有效。这一封闭性是正态分布在统计推断中地位突出的原因之一。