数学广角——找次品
掌握用天平最少次数找出次品的称量策略
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数学广角——找次品
掌握用天平最少次数找出次品的称量策略
什么是找次品
想象面前有9枚一模一样的金币，其中1枚是假的，比其他的轻一丁点。怎么用最快的办法把它找出来？这就是"找次品"要解决的问题。
都是在外观一样的东西里，找出那个"不一样"的
天平称量的基本原理
找次品就像猜哪个球更重——但光靠手感太慢了。我们有个聪明帮手：天平。学会看天平的两种"表情"，就能让次品无处藏身。
两边等重时跷跷板水平，谁更重那一头就下沉——天平同理
3个物品找1个次品
3个物品找1个次品，最少只称1次。关键是怎么分、怎么称、怎么看结果。
为什么要分组
上页我们用 1 次称量就从 3 个物品里找出了次品。但如果物品变成 9 个、12 个、甚至更多呢？继续一个个称还来得及吗？
不一个个猜，每次猜中间值把范围对半切，几下就锁定
认识树形图
前面我们学会了把物品分组来称量。但怎么把每次称量后可能出现的几种情况清楚地画下来呢？这就要请出今天的帮手——树形图。
最上面是祖先，往下分出子女、孙辈，每条线就是一个分支
用树形图分析3个物品
从根节点往下读：先分组，再称量，三种结果各指向一个次品。
5个物品怎么称
用分组策略，最多称2次就能从5个里揪出那个次品。
9个物品怎么称
9个物品找次品，第一次称最关键——必须分成3组来比。
小试牛刀
盒子里有12个零件，其中1个是次品（次品比合格品轻）。第一次用天平称时，下面哪种分法能保证用最少的次数找出次品？
称量次数规律表
沿箭头从左到右读：方块是物品数量区间，下方是所需的最少称量次数。
规律：数量与次数的关系
刚才的规律表里写着：3个用1次、9个用2次、27个用3次。这三个数有个共同点——都是3的次方。现在我们就把这条规律彻底说清楚。
每次猜中间那个，根据「大」「小」「正好」把范围砍到1/3，与天平分三组完全一致
策略回顾与对比
同样找1个次品，不同分组方式速度差很多。怎么分又快又省？
- 一次称量排除约2/3的可能
- 9个物品只需2次找到
- 5个物品2次必能找到
- 操作稍复杂，要分三组
- 一次称量只排除约一半
- 9个物品要称3次才行
- 5个物品也需要2次
- 操作简单，一分为二
本节要点回顾
- ✓天平有3种结果，均分3组最省次数
- ✓每称一次范围缩到原来的1/3
- ✓树形图追踪最坏情况，求最少次数
- ✓3ⁿ个物品n次必能找到次品
课后思考
课后留三个问题，先自己想想，再对照参考答案。
参考答案分成3份且尽量平均，一次比较就能把候选范围缩到原来的三分之一；分成2份最多缩到二分之一，需要更多次称量。
参考答案27分三份每份9个，9再分三份每份3个，3再分三份即可。三次就能定位，正是三等分策略的幂次威力。
参考答案不能简单照搬。2个次品时天平会出现更多种结果（两边都偏重、都偏轻、一重一轻），每份分到几个次品也会变化，需要重新设计分组方案。