（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：传递函数的结构
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线性系统理论 · 第十周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：传递函数的结构
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线性系统理论 · 第十周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：传递函数的结构
LST6-1-1 Smith-McMillan
有理传递函数阵经单模变换可化为 Smith-McMillan 形：对角有理阵揭示多变量系统的极零结构。
化法
公分母化成多项式矩阵做 Smith 形，再约去公因式
整除规则
对角元分子依次整除、分母反向整除
意义
对角元直接读出各通道的极点与零点
LST6-2-1 多变量系统的极
Smith-McMillan 形对角元的分母根为极点，分子根为零点。
极点
分母多项式的根，对应系统模态
零点
使传递函数阵降秩的 s 值
属性
零点可阻塞相应模态的传输
LST6-2-2 结构指数，无穷
把 Smith-McMillan 思想推广到无穷远处：以 w=1/s 变换考察 w=0 处的结构。
倒数变换
s 无穷远行为化为 w 零点附近行为
结构指数
w 域极零的重数刻画无穷远极零
LST6-2-3 结构指数，无穷
无穷远极点对应系统非真或响应中的脉冲行为：结构指数给出重数。
非真判断
无穷远极点存在即传递函数阵非真
重数刻画
结构指数逐项标明无穷远极零的重数
LST6-2-4 传递函数阵在极
评价值汇总 Smith-McMillan 对角元在每个根处的阶数：极零结构的完整台账。
取值阶数
对角元在极点或零点处的取值重数
台账作用
逐点列出极零分布，便于比较与综合
LST6-3-1 零空间
传递函数阵的右零空间：使 G(s) 作用为零的向量函数全体，构成线性空间。
定义
满足 G(s)x(s)=0 的 x(s) 全体
空间结构
对线性组合封闭，可由基向量张成
LST6-3-2 最小多项式基和K
零空间的最小多项式基是一组最简生成向量，其次数序列即 Kronecker 指数。
最小多项式基
不可约、行首一、次数和最小的基
Kronecker 指数
基向量次数序列，刻画零空间构造
LST6-3-3 传递函数阵的亏
亏数 = 最小多项式基次数之和：度量零空间的「体量」。
亏数定义
Kronecker 指数之和
协调作用
与极零数目相协调，校验综合结果
本节要点
- ✓Smith-McMillan 形揭示多变量极零
- ✓无穷远极零用倒数变换考察
- ✓零空间由最小多项式基张成
- ✓亏数 = Kronecker 指数之和
延伸主题：手工化一个 2×2 Smith-McMillan 形验证零点使秩下降
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1单输入单输出系统的零点定义如何推广到多变量系统？
参考答案单变量看标量分子是否为零；多变量用秩的语言：使传递函数阵降秩的 s 值即零点。Smith-McMillan 形把这一秩判据化为对角元分子的根，定义与计算兼得。
2Kronecker 指数序列告诉工程师什么？
参考答案它逐条给出零空间基向量的次数，说明「要多少阶的多项式向量才能张成零空间」。指数之和（亏数）越大，零空间越「宽」，对系统传输特性的约束越丰富。
3为什么要关心无穷远处的极点和零点？
参考答案无穷远极零刻画系统的非真性与脉冲响应结构，关系到系统能否物理实现以及综合时是否引入不可实现的传输。结构指数把它们纳入统一的极零语言。