上一页我们说向心力是圆周运动的'推手'。但先别急——在讲力怎么推之前，得先认清楚：什么样的运动才叫圆周运动？我们从最规整的那种开始：匀速圆周运动。

速度矢量随位置变化：大小恒定方向变，对应匀速圆周运动。

上页我们看清了匀速圆周运动的样子——速度大小不变、方向时刻在变。方向变了就有加速度，有加速度背后就有力。这一页就来回答：是什么力把速度方向持续'掰'向圆心？

前面我们给向心力下了定义：让物体沿圆周运动的合力。现在它到底朝向哪边？为什么不沿速度方向推物体，却能让物体转圈？这一页把方向讲透。

从矢量关系看：F⊥v 如何只改方向、不改速度大小

从速度变化量出发，用相似三角形撬开向心加速度的表达式。

上页我们把向心加速度拆成了 a=v²/r 和 a=ω²r 两种写法。牛顿第二定律说 F=ma，把 a 直接替换进去——向心力的大小就有了精确表达。

以绳拉小球为例，从受力与运动学两条路径推导，验证 F=mv²/r。

离心力是真实力吗？圆周运动中最常被搞混的一对概念。

圆周运动题的核心套路：隔离物体、拆开力的方向、沿半径方向用牛顿第二定律。

哪些力可以提供向心力？重力、弹力、摩擦力、拉力……

先按位置分支，再按约束类型分支，得出不同情境下的向心力方程。

重力和绳子拉力的合力提供向心力

用 Python 数值验证：竖直圆周运动能跑完一整圈的临界速度。

三个核心：(1)最高点 T=0 反推 v²=gr；(2)能量守恒得 v²_bot=5gr；(3)径向方程逐点算张力，验证整圈 T≥0。

前几页讲的都是匀速圆周运动——速度大小不变，只有向心加速度。现在考虑真实场景：汽车转弯时同时踩油门，卫星在椭圆轨道上越走越快。速率一变，运动就不再是「匀」的了。

图的读法：从合外力出发，沿半径与切线两个正交方向分解，分别得到改变方向和改变大小的两个分量,最终合成变速圆周运动。

匀速与变速圆周运动共用向心力公式,但力的分解和能量变化截然不同——变速时多出一个切向力,它改的是速度大小而非方向。

前面学的向心力公式只适用于圆周运动。但现实中很多轨迹是抛物线或不规则曲线——比如斜抛运动的轨迹。不过别担心，处理方法一样：每一瞬间，把曲线的一小段当成圆弧来看。

从匀速圆周运动到一个椭圆轨道、再到任意曲线，每一点的「弯曲程度」都不同。我们用一个局部的小圆去贴合每一点，那个圆的半径就是曲率半径。

• ✓向心力是按效果命名的力，方向始终指向圆心
• ✓核心公式 F=mv²/r 与 F=mω²r 由 v=ωr 互通选择
• ✓解题关键是看合力是否始终指向圆心
• ✓变速圆周需分解为向心+切向两个独立方向
• ✓一般曲线运动等价于瞬时圆周，核心是曲率半径

轻绳一端固定于天花板，另一端系一小球做圆锥摆运动，绳与竖直方向夹角为 θ（θ≠0）。下列关于小球所受向心力的说法，正确的是？

三个开放问题，留给课后继续琢磨。建议先独立想，再对照参考答案。