数学大学
周期信号分析原理
动态测试与分析（上） · 第三章 周期信号分析原理
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周期信号分析原理
动态测试与分析（上） · 第三章 周期信号分析原理
周期余弦窗的无理频谱
余弦窗的谱是几条移位正弦比的叠加：主瓣更宽，旁瓣被显著抵消。
三项叠加
余弦加权等效为三条移位正弦比相加
旁瓣抵消
移位谱线的旁瓣相互抵消，泄漏降低
中心方波的无理频谱
关于原点对称的中心方波：其谱是纯实数的正弦比函数。
偶对称
偶函数的谱为纯实数，无相位弯曲
谱形
正弦比主瓣加旁瓣的标准形态
双向方波的无理频谱
双向方波含正负两个半周：谱中出现奇次谐波特有的结构。
奇次谐波
正负对称使偶次谐波相消
谱结构
谱线只落在奇次谐波频率上
原点方波的无理频谱
起点不在对称中心的方波：幅值谱同中心方波，相位谱多了线性项。
幅值不变
时移不改变幅值谱
相位线性
时移量对应相位谱的线性斜率
矩形窗逆变周期信号
用矩形窗谱构造的周期信号：逆变把谱线串还原为时域波形。
逆变含义
由谱经逆变换得到时域周期信号
窗谱作用
矩形窗谱决定各谐波的加权
矩形谱窗有限逆变
只保留有限段谱再逆变：时域信号被平滑，边界出现延伸。
频域截断
谱窗限制频率范围即低通效果
时域拖尾
频域越窄，时域过渡越平缓越长
方波信号无理频谱的有限逆
用有限次谐波逼近方波：低次谐波勾出轮廓，跳变处出现振铃。
轮廓先现
低次谐波决定基本形状
振铃
跳变附近的波纹随项数增多而变密
方波信号无理频谱的无穷逆
无穷项逆变在连续段收敛到方波：跳变处的过冲固定不变。
收敛区间
连续段逐点收敛到方波值
过冲现象
跳变处约 9% 的过冲不随项数消失
方波信号无理频谱的无穷逆
过冲就是吉布斯现象：间断点的频域收敛只能「到中间值」。
吉布斯现象
间断点附近的部分和振荡不消失
收敛含义
跳变处收敛到左右极限的中间值
吉布斯现象自测
点击作答
增加谐波项数，方波跳变处的过冲峰会怎样？
本节要点
- ✓余弦窗谱 = 移位正弦比叠加
- ✓时移改相位，对称性定谱为实
- ✓有限逆变平滑近似，跳变出振铃
- ✓无穷逆变收敛但过冲不灭（吉布斯）
延伸主题：画不同项数的方波逼近对比三种方波的相位谱
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1三种方波幅值谱相同、相位谱不同，根源是什么？
参考答案它们只是同一种矩形脉冲在时间轴上平移的不同摆放：时移不改幅值谱，只给相位谱加线性项。形状决定幅值，位置决定相位。
2吉布斯现象对工程测量有什么提醒？
参考答案用有限带宽逼近带跳变的信号，跳变处必然有约 9% 的振铃，不是误差可以简单消除。测陡峭沿时要意识到带宽限制带来的过冲假象。
3为什么偶对称方波的谱是纯实数？
参考答案偶函数的傅里叶变换只含余弦项（虚部积分为零），谱退化为实函数。选好时间原点让信号对称，分析会显著简化。