章节4 概述和幻灯片展示 Lec. 4: Counting
数学大学
章节4 概述和幻灯片展示
概率论——不确定性的科学 · 单元3：计数 Unit 3: Counting
按 空格/→ 演示下一步
全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放
数学大学
章节4 概述和幻灯片展示
概率论——不确定性的科学 · 单元3：计数 Unit 3: Counting
The counting principle
计数基本原理：分步进行则总数相乘——一切计数公式的地基。
乘法原理
k 步各有 nᵢ 种选择，总数 = Πnᵢ
加法原理
并列方案类之间相加
Die roll example
掷骰子例：两次掷骰的点对计数，直观演示乘法原理。
有序对
6×6=36 个等可能点对
事件计数
有利点对数 ÷ 36 即概率
Combinations
组合数 C(n,k)：从 n 个中选 k 个不考虑顺序的数目。
公式
C(n,k)=n!/(k!(n−k)!)
来源
排列数除以 k! 消去内部顺序
Binomial probabilities
二项概率：n 次独立试验恰 k 次成功的概率公式。
公式
P=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ
结构
组合选位置 × 成功串 × 失败串
A coin tossing example
抛硬币例题：用二项概率计算指定正面数的概率。
建模
n 次独立、每次正面概率 p
计算
直接代入二项公式
Partitions
分拆计数：n 个元素分成指定大小的各组，组内无序。
多重组合
n!/(n₁!·n₂!…nₖ!) 消去组内与组间顺序
应用
发牌、分组、字符重排计数
Each person gets an ace
每人一张 A 的发牌问题：计数用分步乘法，条件看似复杂实则直接。
分步
逐人发 A，余牌位置任意
启示
复杂牌类问题按「约束元素优先」分步
本节要点
- ✓乘法原理是所有计数公式的地基
- ✓组合数 = 排列数消去顺序
- ✓二项概率 = 组合选位 × 成败概率串
- ✓多重组合处理分组问题
延伸主题：算一次发牌概率推导二项分布的期望
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1排列数与组合数什么时候容易混用？
参考答案看「是否计较顺序」：结果与顺序有关的用排列 P(n,k)，无关的用组合 C(n,k)。判断技巧是把两个元素对调看是否算新方案——是新方案用排列，不是则用组合。
2二项概率公式的三段结构各自扮演什么角色？
参考答案C(n,k) 选出哪几次成功（不关心顺序所以用组合），pᵏ 是成功位置的概率串，(1−p)ⁿ⁻ᵏ 是失败位置的概率串。识别出这个结构，任何「多次独立重复」问题都能当场写出答案。
3概率题中「等可能」假设怎么核对？
参考答案检查每个基本结果是否由同一构造过程产生、有无被人为拆分或合并。抛两枚硬币要拆成（正,正）（正,反）（反,正）（反,反）四个等可能点对，而不是误设三个。