数学大学
周期化分析原理
动态测试与分析（下） · 第4章 周期化分析原理
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周期化分析原理
动态测试与分析（下） · 第4章 周期化分析原理
DFT与FFT的关系
FFT 不是另一种变换：它是 DFT 的快速算法，结果完全一致。
同一变换
数学上 FFT 与 DFT 输出完全相同
快在复用
按奇偶分组递归，复用旋转因子
量级
计算量从 O(N²) 降至 O(N log N)
周期频谱与无理频谱的关系
周期频谱是离散谱线序列，无理频谱是连续谱函数：后者取样的样本就是前者。
连续与离散
无理频谱连续，周期频谱是其采样
抽取关系
奈奎斯特频段内按间隔抽取即谱线
采样定理原理
采样率超过信号最高频率两倍，采样序列才能唯一代表原信号。
两倍准则
采样率 > 2 倍最高频率，频谱不重叠
唯一还原
满足定理时原信号可完全恢复
频率混淆原理
违反采样定理，高频成分折返伪装成低频：这就是频率混淆（混叠）。
折返机制
超过奈奎斯特频率的成分镜像折回低频
不可逆
混叠一旦发生，事后无法拆开
对策
提高采样率或先抗混叠低通滤波
周期频谱恢复原连续周期信
满足采样定理时，离散谱线经逆变可以完整恢复连续周期信号。
恢复条件
采样率足够高，谐波无遗漏
恢复路径
谱线逆变逐谐波叠加回时域
奈奎斯特频谱抽取左右无理
奈奎斯特频谱的两半各对应正负频率：左右拼合还原完整的无理频谱。
左右两半
前半对应正频率，后半对应负频率
拼合还原
两半重排拼出完整的连续谱函数
本节要点
- ✓FFT 是 DFT 的快速实现
- ✓周期频谱 = 无理频谱的采样
- ✓采样定理：两倍频率以上不混叠
- ✓奈奎斯特两半拼出完整谱
延伸主题：对比 DFT 与 FFT 耗时制造一次混叠观察折返
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1既然 FFT 与 DFT 结果一样，为什么还要区分两者？
参考答案DFT 是数学定义——离散序列到离散谱线的变换；FFT 是计算它的技巧。理论推导用 DFT 的定义，工程实现用 FFT 的速度，层次不同、缺一不可。
2混叠为什么无法事后修复？
参考答案混叠把高频成分折回低频后，两种信息叠加在一起，频谱上无法分辨哪些来自真低频、哪些是折返的高频。防止混叠必须在采样之前完成——滤波或提高采样率。
3奈奎斯特频谱为什么分左右两半？
参考答案DFT 的输出按 0 到采样频率排列，前半对应正频率、后半对应负频率。把后半移到负频率轴上，才能拼出物理意义上完整的双边谱。