总复习

官官方数学老师·13 页·入门（第一次接触这个概念）·0 次浏览·3 天前

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知识图谱概念串联系统理解入门回顾

总复习

看完能用一张图讲清：每个概念是什么、为什么重要、和谁配合

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知识图谱概念串联系统理解入门回顾

总复习

看完能用一张图讲清：每个概念是什么、为什么重要、和谁配合

1第 1 页 · 总复习

化简比

化简比：定义、要点与典型应用

化简比

化简比：定义、要点与典型应用

2第 2 页 · 化简比

比

上一页把 6:4 化成了 3:2——为什么能这样做？要回到「比」本身去看。

比是什么

两个数相除可以用「比」来表示，如 3÷2 写成 3:2

写法与各部分名称

用冒号隔开，冒号前的叫前项，后的叫后项

和分数、除法是一家

a:b = a÷b = a/b，比值就是前项除以后项

比要化到最简

6:4 和 3:2 说的是同一件事，比通常写最简形式

生活里哪儿用比

调饮料配方、地图比例尺、按比例分配物品

调果汁对应 →比

浓缩汁和水按 1:3 兑，多兑少兑比例不变味道就不变——比抓的就是这种「不变的关系」

a:b = a \div b = \dfrac{a}{b}

3第 3 页 · 比

根据已知量建立数量关系式

上次我们学了化简比，但题目不总是直接给比的形式，更常见的是一段话加几个数字。我们要做的是把它们「翻译」成数学语言——也就是数量关系式。

找已知量

把题目里每个数字对应的实际含义理清：是速度、时间，还是单价？

定关系类型

看这些量之间是相加、相减、倍数还是比的关系

写关系式

用「=」或「比号」把关系写出来，如速度×时间=路程

把一段中文句子翻译成式子对应 →根据已知量建立数量关系式

已知量是词语，关系式是句式；你扮演的就是那个翻译官

4第 4 页 · 根据已知量建立数量关系式

百分数

超市'打八折'、牛奶脂肪'3.5%'、考试得了'95分'——这些数字背后都藏着同一个概念：百分数。它其实是我们刚学的'比'家族里最常用的一员。

百分数的定义

表示一个数是另一个数的百分之几，又叫百分率或百分比

和'比'的关系

就是后项固定为100的比，例如 1/4 = 25:100 = 25%

不带单位

只表示比率关系，不能加'米''千克'等单位

常见应用

折扣、合格率、成活率、浓度、正确率等

果汁配方统一换算成100份对应 →百分数（分母固定为100）

不管原来几比几，都换算成'100份里占多少'，比较起来一目了然

\text{百分数}=\frac{\text{部分量}}{\text{总量}}\times 100\%

5第 5 页 · 百分数

扇形统计图

你已经会用百分数说「零花钱的30%买了零食」。但如果想一眼看出钱花在哪些地方、各占多少，单独的百分数就有点零散。这就需要一张图，把所有比例拼成一张能一眼看懂的圆——扇形统计图。

整体是一个圆

把要统计的所有数据看成一个完整的圆，代表100%

扇形代表部分

圆被分成若干扇形，每个扇形对应一个类别在总体中的比例

圆心角定大小

扇形越大，该项在总体中占比越高，所有扇形圆心角之和为360°

直观比较占比

不需要逐个计算就能直接比较各部分占总体的大小关系

把披萨切成几块分给朋友对应 →扇形统计图

整个披萨对应100%，每人分到的那块对应各类占比，切得越大代表分到越多

\text{圆心角}=\text{该项百分比}\times 360°

6第 6 页 · 扇形统计图

分数乘法

百分数、扇形图里的「一半」「四分之一」本质上都是分数。要算「一个整体的四分之一的一半是多少」，靠的就是分数乘法。

含义

求一个数的几分之几是多少，即「部分」与「部分」相乘

计算法则

分子×分子作新分子，分母×分母作新分母

约分技巧

能交叉约分的先约分，结果要化成最简分数

带分数处理

先把带分数化成假分数，再按法则计算

把纸对折两次对应 →分数乘法

第一次对折剩一半，第二次再对折剩一半，1/2 的 1/2 就是 1/4

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

7第 7 页 · 分数乘法

分数除法

上一页我们学了分数乘法，是求「几个几分之几是多少」。反过来，如果已经知道积和其中一个因数，要求另一个因数——这就是分数除法。它和分数乘法是互逆的运算。

意义

已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数

计算法则

除以一个分数，等于乘这个分数的倒数

运算技巧

能约分的先约分，结果要化成最简分数

典型应用

已知部分求整体，或把总量平均分成若干份

买东西算数量对应 →分数除法

已知总价和单价反推数量，除法就是乘法的逆运算

\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} \quad (b,d \neq 0)

8第 8 页 · 分数除法

方向与距离确定位置

你跟朋友走散在游乐园，朋友在广播里喊「我在你东边！」——东边那么大，你还是找不到。但如果他说「我东偏北30°方向、距离50米的摩天轮下面」，你立刻知道往哪走、走多远。

方向

指明往哪边看，如「东偏北30°」是从东向北转30度的方向

距离

指明要走多远，用具体长度，如「50米」

观测点

所有方向和距离的起点，没有它就无法描述

两者缺一不可

只有方向是一片射线，只有距离是一个圆，两者交集才是唯一的点

走散后跟朋友报位置对应 →方向与距离确定位置

「东偏北30°」对应「往哪走」，「50米」对应「走多远」

9第 9 页 · 方向与距离确定位置

圆的周长公式

操场跑道如果是圆形，跑一圈到底有多长？绕圆一周的长度就是圆的周长。今天把这块知识重新理一遍。

周长的含义

围成圆的一周的曲线的长度，就是圆的周长

周长公式

C = πd，知道直径 d 就能直接求周长

圆周率 π

任何圆的周长÷直径都是同一个数，约等于 3.14

半径版本

因为 d = 2r，所以 C = 2πr，知道半径也能求

车轮在地面滚一圈对应 →圆的周长

车轮转一圈留下的痕迹长度，正好等于车轮这个圆的周长

C = \pi d = 2\pi r

10第 10 页 · 圆的周长公式

圆的面积公式

上节课我们用绳子绕一圈量出了圆的周长。那想知道一个圆形花坛能种多少花、铺多少草皮呢？这就需要——圆的面积。

面积公式

S = πr²，r 是圆的半径

半径 r

圆心到圆上任意一点的距离

圆周率 π

约等于 3.14，圆周长÷直径

典型应用

已知半径代入：S = 3.14 × r²

披萨切细条拼长方形对应 →推导圆的面积公式

细条拼出长方形，长≈πr、宽≈r，面积就是 πr²

S = \pi r^2

11第 11 页 · 圆的面积公式

本节要点

✓化简比：同除最大公因数，结果要前后项互质
✓分数应用题：先找单位"1"，已知用乘、未知用除
✓百分数即分母为100的特殊分数，可与小数、分数自由互化
✓圆的周长C=πd、面积S=πr²，半径r是核心变量
✓方向+距离＝平面上的唯一确定位置

12第 12 页 · 本节要点

课后思考

先自己想一想，再对照参考答案，看看思路对不对。

1化简比和求比值有什么相同和不同？什么时候用哪个更方便？

参考答案化简比得到最简整数比（前后互质），保留比例关系；求比值算成一个具体数，便于代入下一步计算。

2奶茶店进价和售价的比是 3:5，每杯赚 4 元，成本价是多少？

参考答案售价与进价相差 5−3=2 份，对应 4 元，每份 2 元；进价 = 3×2 = 6 元。

3半径变成原来的 2 倍，圆的周长和面积分别变几倍？

参考答案周长 = 2πr，与半径成正比 → 变 2 倍；面积 = πr²，与半径平方成正比 → 变 4 倍。

13第 13 页 · 课后思考