三角函数的概念

官官方数学老师·11 页·深入（追求细节与边界）·0 次浏览·3 天前

✦ 三角函数的概念数学三角函数的概念正弦函数

三角函数单位圆概念辨析数形结合

三角函数的概念

从相似三角形的直觉出发，搞懂三角函数如何定义、为何推广、以及边界在哪里

按空格/→ 演示下一步

1 / 11 页

全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放

三角函数单位圆概念辨析数形结合

三角函数的概念

从相似三角形的直觉出发，搞懂三角函数如何定义、为何推广、以及边界在哪里

1第 1 页 · 三角函数的概念

利用单位圆求三角函数值

上一页我们把三角函数推广到了任意角，但具体数值怎么算？直角三角形的边长比只能处理 0°~90°，单位圆把这个限制彻底打破——它让 sin 和 cos 直接「住」进了坐标系。

单位圆

半径为 1、圆心在原点的圆，方程 x² + y² = 1

坐标直读

角 θ 对应圆上点 (x, y)，则 x = cos θ，y = sin θ

角度全覆盖

负角、钝角、超过 360° 的角都能在圆上找到对应点

勾股恒等式

由 x² + y² = 1 直接推出 sin²θ + cos²θ = 1

圆形刻度尺对应 →单位圆

转到任意角度，立刻读出横纵两个值，就是 cos 和 sin

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

2第 2 页 · 利用单位圆求三角函数值

正弦函数

上一页在单位圆上画了点 P，用它的横纵坐标定义了两个三角函数。这一页单独看正弦：那个纵坐标，到底有哪些值得深究的细节？

定义

单位圆上角 θ 对应点 P 的纵坐标 y = sin θ（r=1 时）

值域 [-1, 1]

圆最高 y=1、最低 y=-1，所以 sin θ 永远夹在这之间

最小正周期 2π

转一整圈高度回到原值；sin(θ+2π) = sin θ

奇函数

sin(-θ) = -sin θ，图像关于原点对称

典型应用

简谐振动、交流电波形、声音信号

摩天轮座椅的高度对应 →正弦函数的图像

转到顶点最高（+1），底部最低（-1），每转一圈回到原高——周期就是 2π

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

3第 3 页 · 正弦函数

余弦函数

正弦函数看终点的纵坐标。现在把视线转向横坐标，这个量就是余弦。

单位圆定义

终边与单位圆交于P(x,y)，余弦取横坐标x。

三角形比值

锐角θ的余弦等于邻边比斜边；超出锐角范围不可直接套用。

符号与周期

正负由x决定；每转2π重复，且cos(-θ)=cosθ。

典型应用

用于求水平分量、向量夹角，也用于余弦定理处理边角关系。

钟表指针的水平投影对应 →单位圆中的余弦

指针长度取1时，投影长度与正负都等于终点横坐标x

\cos\theta=x,\qquad \cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\;(\theta\text{ 为锐角})

4第 4 页 · 余弦函数

正切函数

前两页我们已经在单位圆上读出了 sin=y、cos=x。如果把两者做一次除法，会得到一个'脾气'很不一样的新函数——正切。

定义

tanθ = sinθ / cosθ，即单位圆上对应点的 y÷x。

几何意义

射线交单位圆 (1,0) 处切线（x=1）所得交点的 y 坐标。

定义域

所有实数去掉 π/2+kπ 这些 cosθ=0 处。

周期

周期为 π，比 sin、cos 短一倍。

单调性

每个连续区间内严格单调递增。

过原点的直线斜率对应 →tan θ 的值

水平时为 0，竖直时不存在——和 cos=0 处 tan 无定义同源

\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{y}{x},\quad x\ne0

5第 5 页 · 正切函数

三角函数

前面我们分别认识了 sin、cos、tan，也用单位圆算出过具体的函数值。但它们为什么被归为一类？——因为它们共享同一个内核：把角度映射为单位圆上的坐标或坐标之比。

统一内核

三角函数本质上把「角度」映射成单位圆上点的纵坐标、横坐标或二者的比

六函数家族

sin、cos、tan 各有一个倒数函数：csc、sec、cot——三对共六个

周期与值域

sin、cos 值域 [-1,1]、周期 2π；tan 无界、周期 π（π/2+kπ 处无定义）

奇偶性

sin、tan 是奇函数；cos 是偶函数——这是公式化简与积分的关键

典型应用

把旋转、振动、波动这类周期现象翻译成可计算、可分析的函数模型

钟表指针的圆周运动对应 →三角函数的周期性

指针转一圈回到原位，对应角度走 2π 时 sin、cos 必回到原值

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \quad(\text{毕达哥拉斯恒等式})

6第 6 页 · 三角函数

三角函数的定义域

用计算器算 tan(90°) 时，它会直接报错。为什么？tan = sin/cos，cos 90° = 0，分母为零无意义——这正是定义域问题。

正弦与余弦

定义域为全体实数 ℝ，任意实数角都对应唯一函数值

正切的禁区

tan = sin/cos，cos x = 0 即 x = π/2 + kπ 时无意义

余切的禁区

cot = cos/sin，禁区为 x = kπ，与正切恰好互补

几何直观

禁区处图像出现垂直渐近线，函数值趋于 ±∞

复合函数

y = f(g(x)) 需同时满足外层与内层的限制，取交集

除法运算对应 →正切/余切禁区

分母为零无意义，cos x=0 对应 tan 的禁区，sin x=0 对应 cot 的禁区

\sin x, \cos x: x \in \mathbb{R} \\ \tan x: x \neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\, k \in \mathbb{Z} \\ \cot x: x \neq k\pi,\, k \in \mathbb{Z}

7第 7 页 · 三角函数的定义域

单位圆建立三角函数模型

上页讲了三角函数的概念，它本质是边长比。但这种定义被锁在直角三角形里——角只能是 0°~90° 的锐角。怎么突破？把半径固定为 1——画一个单位圆。

单位圆的定义

以原点为圆心、半径 1 的圆，所有点 (x,y) 满足 x² + y² = 1

三角函数的几何定义

角 θ 的终边与单位圆交于 P(x,y)，则 cos θ = x，sin θ = y

突破锐角限制

θ 可取任意实数——负角、超出 360° 的角都对应圆上唯一一点

周期性的几何来源

绕原点旋转一周（2π 弧度）回到原处，函数值重复

值域的几何体现

圆上点的横纵坐标都在 [-1,1]，故 sin θ、cos θ ∈ [-1,1]

地图上的经纬度坐标对应 →单位圆上的 (cos θ, sin θ)

经度定东西、纬度定南北，每处位置唯一确定；cos、sin 分别定 θ 在 x、y 轴的位置

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

8第 8 页 · 单位圆建立三角函数模型

同角三角函数的基本关系

前面我们从单位圆认识了 sin、cos、tan 三个三角函数，但它们不是孤立的——同一个角的这三个函数值之间，藏着几个永恒不变的等式。这页我们就来拆开这三个关系。

平方关系

sin²α + cos²α = 1，由单位圆上点坐标的勾股关系得出

商数关系

tanα = sinα / cosα，本质是 sin 与 cos 的比值定义

倒数关系

tanα · cotα = 1，正切与余切互为倒数

变形应用

已知一个函数值与象限，可求出其余函数值（需注意符号）

三角形三边对应 →同角三角函数的关系

三边受勾股定理约束，三函数值受三个恒等式约束

\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1,\quad \tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1

9第 9 页 · 同角三角函数的基本关系

本节要点

✓三角函数本质是角度到坐标或比值的映射，三角形只是直观入口
✓单位圆统一了 sin、cos、tan：纵坐标、横坐标、纵横之比
✓定义域取决于函数自身结构，cos=0 处 tan 不存在
✓同角关系是恒等式约束，可双向化简求值

延伸主题：三角函数的图像与性质诱导公式与符号判断三角恒等变换

10第 10 页 · 本节要点

课后思考

先遮住参考答案自己琢磨五分钟，再对照——好问题值得翻来覆去想。

1为什么三角函数必须定义在单位圆上，而不是任意半径的圆上直接用「对边/斜边」？

参考答案单位圆半径归一，点坐标 (cosθ, sinθ) 本身就是三角函数值，与圆大小无关；推广到任意半径就得除以半径，定义不再简洁统一。

2若把单位圆换成椭圆 x²/a² + y²/b² = 1，三角函数还能照搬定义吗？会失去什么性质？

参考答案椭圆没有「匀角速度」的天然参数化，周期性与和差角公式都会失效；只能另造椭圆函数，与正弦余弦不再共享同一套代数结构。

3同角关系 sin²α + cos²α = 1 依赖「同角」二字，换成不同角 sin²α + cos²β 还能找到类似简洁等式吗？

参考答案一般没有；但 (sinα−sinβ)² + (cosα−cosβ)² = 2 − 2cos(α−β) 给出单位圆上两点弦长平方——把「同角」关系拓展为「点对点」关系。

11第 11 页 · 课后思考