（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性（二）
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（第二部分：线性系统的时
线性系统理论 · 第五周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性
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线性系统理论 · 第五周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性
LST3-3-1 能控性能观性指
指数是分组维度：把可控性矩阵按块分组时每组列数的最大值。
能控性指数
μ 为使 [B AB … A^{μ−1}B] 满秩的最小数
意义
决定所需补偿器阶数与规范形结构
LST3-4-1 对偶性原理（一
对偶系统：把 (A,B,C) 转置成 (Aᵀ,Cᵀ,Bᵀ)，能控与能观互换。
对偶系统
原系统能控 ⇔ 对偶系统能观
构造
A 转置、B 与 C 互换
LST3-4-2 对偶性原理（二
对偶性的用途：能观性的结论全部免费搬运自能控性。
结论复用
能控判据逐条对偶成能观判据
设计意义
状态观测器设计对偶于状态反馈设计
LST3-5-1 系统结构的规范
规范分解把状态空间切成四块：可控可观、可控不可观、不可控可观、不可控不可观。
四分结构
按可控性与能观性做直和分解
外部行为
只有可控可观块出现在传递函数阵中
LST3-5-2 系统结构的规范
分解的实现：构造合适的变换矩阵，把 A、B、C 化成规范块状结构。
变换构造
用可控性与能观性子空间的基拼 P
块状结果
A 化为分块三角形，零块显形
LST3-5-3 系统结构的规范
分解后的传递函数阵：只由可控可观块计算，其余块被结构隔离。
谱线来源
G(s) 只含可控可观子系统的极零
对应零极相消
其余块的极点不出现在外部描述中
LST3-5-4 系统结构的规范
规范分解的不变性：无论用什么分解方法，可控可观子空间维数唯一。
维数唯一
四块维数是系统不变量
坐标无关
不同分解相差一个块内坐标变换
LST3-6-1 能控标准型和能
能控标准形：单变量系统系数按友矩阵排列，便于极点配置计算。
友矩阵
末行放特征多项式系数的负值
用途
极点配置增益可由系数对比直接写出
LST3-6-2 能控标准型和能
能观标准形与能控标准形互为转置对偶：结构对称成对出现。
对偶结构
Aᵀ 与 B/C 位置互换
用途
观测器设计在能观标准形下最方便
LST3-7-1 传递函数矩阵的
实现问题：给定传递函数阵，求生成它的状态空间描述。
可实现条件
真有理分式阵才可由有限维实现
实现不唯一
实现有无穷多个，阶数可以不同
LST3-7-2 传递函数矩阵的
可控标准形实现：按公分母逐元展开，天然可控。
可控实现
以各元公分母构造友矩阵
特点
保证可控，未必可观
LST3-7-3 传递函数矩阵的
最小实现：既可控又可观的实现，阶数最低。
判据
实现最小 ⇔ 可控且可观
意义
最低阶实现反映系统的真实复杂度
LST3-7-4 传递函数矩阵的
求最小实现的路径：先做可控实现，再按能观性降阶。
两步法
可控实现后做结构分解削去不可观块
结果
剩余块即最小实现
本节要点
- ✓对偶性：能控结论免费变能观
- ✓规范分解切成四块，外部只看一块
- ✓标准形让极点配置与观测器最好算
- ✓最小实现 = 可控 + 可观 + 最低阶
延伸主题：做一个传递函数阵的最小实现验证规范分解的四块维数
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1对偶性原理为什么能「免费」得到能观性的全部结论？
参考答案对偶系统把 B 与 C 互换、A 转置，能控判据的每一个矩阵运算都原样变成能观判据的运算。于是能控性三十年积累的结论一次性平移到能观性，数学上零成本。
2为什么传递函数阵的「最小实现」阶数就是系统的真实复杂度？
参考答案更低阶的实现不存在（否则传递函数不同），更高阶的实现含有不可控或不可观的冗余模态。既可控又可观的最低阶实现恰好不多不少地对应外部行为。
3规范分解说明「系统的内部与外部可以不一致」，工程上怎么看待？
参考答案不可控不可观块虽然不进入传递函数，但其模态仍可能发散而毁坏系统。所以设计不能只看外部传递特性，要用内部描述检查全部模态的稳定性。