数学大学
周期信号分析原理
动态测试与分析（上） · 第三章 周期信号分析原理
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周期信号分析原理
动态测试与分析（上） · 第三章 周期信号分析原理
周期傅里叶变换（第二部分
周期信号也能做傅里叶变换：结果不是连续谱，而是一串频域冲激。
谱线冲激
每个谐波频率处一根冲激谱线
冲激强度
冲激的面积对应谐波系数的大小
周期傅里叶变换（第二部分
谱线串与谐波系数一一对应：周期信号的频谱就是一份频率清单。
一一对应
第 k 次谐波对应第 k 根谱线
读谱
谱线位置定频率，强度定幅值
周期傅里叶逆变换——周期傅
从谱线串还原周期信号：逆变换把各谐波按系数叠加回来。
逐谐波叠加
每个冲激谱线还原一个余弦分量
还原完整
全部谱线参与即完全复原原信号
周期傅里叶逆变换——周期傅
只取有限根谱线的逆变换是近似：项数越多越接近原信号。
有限项逼近
截取低次谐波，得到平滑近似
收敛
项数趋于无穷时逼近原信号
无理频谱的非周期性
谱函数（含三角比式的表达式）自身不是周期函数：谱函数与离散谱线是两回事。
谱函数
随频率连续变化的表达式，如三角比式
非周期性
谱函数作为连续函数没有周期
谱线离散
周期信号的谱只在离散频率处取值
本节要点
- ✓周期信号的变换结果 = 冲激谱线串
- ✓谱线位置定频率，强度定幅值
- ✓逆变换逐谐波叠加还原信号
- ✓谱函数连续无周期，取值离散成谱线
延伸主题：画出周期信号的谱线串做一次有限项逆变换对比
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1周期信号的傅里叶变换为什么是冲激串而不是连续曲线？
参考答案周期信号的能量只集中在基频整数倍处，其余频率为零。冲激恰好表达「集中在一点」的分布，强度即谐波系数，这是数学上最严谨的写法。
2「谱函数不是周期函数」与「信号是周期信号」矛盾吗？
参考答案不矛盾。谱函数是频率的连续表达式（可能含三角比式），它本身不作周期重复；而周期信号只在这条曲线的离散点上取值形成谱线。连续表达式与离散取值各说各的事。
3有限项逆变换得到的近似信号，与原信号差别在哪里？
参考答案缺少高次谐波使波形棱角被磨平：缓变部分很快接近原信号，突变沿（跳变处）则出现振铃与过冲。项数越多，逼近越好，跳变处收敛最慢。