数学大学
多元函数的方向导数与梯度
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
按 空格/→ 演示下一步
全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放
数学大学
多元函数的方向导数与梯度
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
方向导数的概念
方向导数：函数沿任意指定方向的变化率，是偏导数的推广。
定义
P 沿单位方向 l 移动时函数值的变化率
偏导关系
沿坐标轴正方向即为偏导数
方向导数的计算
可微时方向导数 = 梯度与单位方向的点积，免去极限计算。
公式
∂f/∂l = grad f · l
前提
函数在该点可微，公式才成立
梯度向量的概念与计算
梯度是各偏导排成的向量：方向最陡上升，模是最大变化率。
计算
逐分量求偏导拼成向量
最速下降
负梯度方向下降最快，优化算法的地基
本节要点
- ✓方向导数：任意方向的变化率
- ✓可微时 = 梯度点方向
- ✓梯度方向最陡上升
延伸主题：算三个方向的方向导数找函数在某点上升最快的方向
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1方向导数存在需要什么条件？偏导存在够吗？
参考答案偏导存在只保证坐标轴方向的变化率有限，任意方向的方向导数未必存在；函数可微时所有方向导数都存在且有梯度点积公式。可微是方向导数全局存在的充分条件。
2方向导数计算公式要求「可微」而不仅是偏导存在，为什么？
参考答案任意方向的变化率需要函数在该点附近有整体的线性近似才能由偏导拼出；偏导只管两个坐标方向，方向间的关系要靠可微性保证。偏导存在而不可微的函数，某些方向导数甚至不存在。
3梯度为零向量意味着什么？
参考答案所有方向的方向导数都是零——该点是驻点，函数在此没有线性变化趋势。它是找极值的第一步候选，再用二阶（海塞）信息判定是极小、极大还是鞍点。