串联电路和并联电路

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串并联等效电阻边界条件电路分析

串联电路和并联电路

从等效电阻到边界条件,一次讲透串并联的假设与陷阱

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串并联等效电阻边界条件电路分析

串联电路和并联电路

从等效电阻到边界条件,一次讲透串并联的假设与陷阱

1第 1 页 · 串联电路和并联电路

利用串并联规律推导等效电

上一节我们学了串、并各自的电流电压规律。但真实电路几乎都是混联——多个电阻横七竖八连成一片。能不能把整团电阻折叠成一个?这就要请出等效电阻。

等效电阻的定义
对外完全替代:从两端看进去,一个电阻能再现整个网络的电压电流关系
串联相加
串联电流相同、电压累加,等效电阻等于各电阻之和 R = R₁ + R₂ + ⋯
并联倒数相加
并联电压相同、电流分流,等效电阻的倒数等于各倒数之和
分块化简策略
从最内层纯串/纯并的小块下手,逐层合并,把网络折叠成单个电阻
适用边界
只对线性电阻网络成立,含二极管、晶体管等非线性元件时公式失效
合并多个班级的人数对应 →等效电阻

合班后总人数不变;等效电阻对外的电压-电流关系也不变

R=R1+R2++Rn1R=1R1+1R2++1RnR_{\text{串}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n \qquad \dfrac{1}{R_{\text{并}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \cdots + \dfrac{1}{R_n}
2第 2 页 · 利用串并联规律推导等效电

仪表改装参数计算(分压/

上页用串并联规律求出等效电阻,解决「合并」问题。反过来,工程师常要把 100μA 的小表头改装成能测 1A 的电流表或 220V 的电压表——靠的就是串并联规律的「反向应用」。

改装动机
表头满偏电流/电压小,需外接电阻扩展量程并保护表头不被烧毁
分流法(电流表)
表头并联小电阻 Rₛ,绝大部分电流从 Rₛ 流过,表头只过满偏电流 I_g
分压法(电压表)
表头串联大电阻 Rₘ,绝大部分电压降在 Rₘ 上,表头只承受满偏电压 U_g
参数计算核心
用并联电压相等反推 Rₛ,用串联电流相等反推 Rₘ
大坝的泄洪道与挡水墙对应 →分流与分压

并联小电阻像泄洪道,让大电流绕开表头;串联大电阻像挡水墙,替表头扛住大部分电压

Rs=IgRgIIg(分流)Rm=UIgRg(分压)R_s=\dfrac{I_g R_g}{I-I_g}\quad\text{(分流)}\qquad R_m=\dfrac{U}{I_g}-R_g\quad\text{(分压)}
3第 3 页 · 仪表改装参数计算(分压/

串联电路中的电流规律

上一页我们区分了串联和并联——串联是元件首尾相连、只有一条电流通路。那么这条唯一通路上的电流,在不同位置会一样吗?

电流处处相等
I = I₁ = I₂ = … = Iₙ,单位时间内通过串联回路任何截面的电荷量相同
本质是电荷守恒
串联无分支,节点处电荷不会堆积,稳态下流入速率必然等于流出速率
与电阻大小无关
R₁、R₂ 无论多大或多小,电流都相等;电阻只决定电压怎么分配,不影响电流
边界:仅适用于稳态
暂态过程(电容充放电瞬间)或交流瞬时值下,支路电流不一定相等
应用:电流表可任接
串联回路中把电流表串入任意一段,读数都相同,位置不影响结果
单车道公路的车流对应 →串联电路的电流

公路没岔路,每分钟通过任何断面的车数必然相等;某处堵车(电阻大)只让车慢,不会让车数增减

I=I1=I2==InI = I_1 = I_2 = \cdots = I_n
4第 4 页 · 串联电路中的电流规律

并联电路中的电流规律

上一页的串联电路中,电流沿唯一路径流动,所以各处电流相等。若电流在节点处分流到几条支路,干路电流与各支路电流怎样对应?

分路电流
电流在分叉节点后进入各支路;并联支路端电压相同,但支路电流不必相等,欧姆负载阻值越小,电流越大。
节点守恒
稳态时,任一节点的流入电流之和等于流出电流之和,电荷不会在节点持续积聚。
总流关系
干路电流等于各支路电流之和;各支路通常不是平均分配,而是按自身条件取流。
典型应用
家庭电器可分别开关;电流表串入待测支路,读数反映该支路电流,可辅助判断通断。
分流水管对应 →并联支路电流

总水管的水量等于各分流管水量之和;各分流管的流量由自身阻力决定。

\(I=I_1+I_2+\cdots+I_n\)
5第 5 页 · 并联电路中的电流规律

串联电路中的电压规律

上一节我们确认串联电路中电流处处相等。可是同一个电流经过不同阻值的元件,两端电压还会一样吗?『仪表改装分压』那一节已经暗示了答案——大电阻两端分得更多电压。今天把这层规律说透。

电压守恒
串联电路总电压等于各部分电压之和:U = U1 + U2 + …,本质是能量守恒
分压与电阻成正比
电流相同的前提下,U1/U2 = R1/R2,可由 U = IR 一步推出
KVL 的最简情形
绕任一闭合回路一周,电势升降代数和为零;串联是其最简单表现
应用:分压器与电压表
按比例把总电压抽出一部分,前提是后接负载电阻远大于分压电阻
粗细不一的串联水管对应 →串联电阻

管段越细阻力越大,水压在该段下降越多——对应电阻大分到的电压也多

U=U1+U2++Un,U1U2=R1R2U_{\text{总}} = U_1 + U_2 + \cdots + U_n,\quad \frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}
6第 6 页 · 串联电路中的电压规律

并联电路中的电压规律

上一节我们看到并联电路中电流会'分流',那电压呢?回想家里插座——不管同时插几个电器,每个插座两端电压都是220V。这背后就是并联的电压规律。

各支路电压相等
并联电路中,每条支路两端的电压都相同
等于端口电压
各支路电压等于并联部分两端的总电压;直接接电源时等于电源电压
与串联对比
串联分压U=U1+U2,并联不分压U=U1=U2——两种电路最本质的区别
边界条件
理想导线、理想电源下成立;真实情况导线电阻和电源内阻会让各支路电压有微小差异
总水管分出的多根支管对应 →并联电路的各支路

总水管压强多大,每根支管入口处的压强就多大——与电压规律一一对应

U1=U2==Un=UU_1 = U_2 = \cdots = U_n = U_{并}
7第 7 页 · 并联电路中的电压规律

串联电路的等效电阻

上一节我们用串并联规律推出了等效电阻,但'等效'到底什么意思?为什么能拿一个电阻替代一串?这页就专门把'串联等效电阻'掰开讲清楚。

等效电阻
用一个电阻替代一段电路,对外表现出相同的电压-电流关系
串联公式
总电阻等于各分电阻之和,多个电阻串联时阻值直接相加
微观解释
串联相当于电阻丝变长,电子沿途碰撞次数叠加,阻碍增大
限流应用
串联大电阻可限制回路电流,常用于LED调光或元件保护
等效边界
仅对线性电阻成立,阻值随电压电流变化的元件不能简单相加
多人排队过安检对应 →串联电阻

每个安检口都拖慢一点速度,多个串联总时间累加,对外像一道更慢的关口

Req=R1+R2+R3++RnR_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots + R_n
8第 8 页 · 串联电路的等效电阻

并联电路的等效电阻

上页串联电阻直接相加——一条路走到底。并联则是多条岔路,电流会分流,那「总电阻」该怎么算?这页用一条核心性质把它说透。

等效电阻定义
从外电路看,多条并联支路等同于一个电阻,对外电压电流关系不变
核心性质:越并越小
并联等效电阻一定小于任一支路电阻,因为多出路径相当于「加宽河道」
倒数的可加性
并联时电阻本身不可加,是其倒数(电导)相加
特殊情形:n 个相同电阻
n 个阻值同为 R₀ 的电阻并联,等效电阻恰好为 R₀/n,是定量题高频点
短路边界
任一支路电阻为 0,整个并联组合等效电阻为 0,电流全走零阻支路
多根水管同时过水对应 →并联等效电阻

管子越多、过水越畅——总阻力反而小于任何一根单管的阻力

1R=1R1+1R2++1Rn\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\cdots+\dfrac{1}{R_n}
9第 9 页 · 并联电路的等效电阻

表头(小量程电流表)

前页我们用串并联规律去改装仪表,但"被改装的那个核心"到底是什么?这页拆开表头看内部——它为什么能测电流,又有哪三个参数决定了它的一切。

本质:灵敏电流计
动圈式结构;通电线圈在磁场中受力带动指针偏转,电流越大偏转角越大
三个关键参数
满偏电流 Ig、内阻 Rg、满偏电压 Ug = Ig·Rg
满偏的含义
指针偏到刻度最右端时,通过的电流恰好等于 Ig
小量程的根源
Ig 通常在 μA 到几 mA;超过 Ig 会烧坏线圈或卡死指针
精密天平对应 →表头

体重秤看不出 1g 变化,精密天平能称出;普通电流表看不到 μA 级电流,表头能

Ug=IgRgU_g = I_g \cdot R_g
10第 10 页 · 表头(小量程电流表)

电流表内阻(表头内阻)

上一页我们认识了表头——一个能测微小电流的精密器件。但任何导线都有电阻,表头里那卷细漆包线自然也不例外。这一页就来谈表头自己的电阻——表头内阻 Rg。

定义与本质
表头内阻 Rg 是线圈漆包线本身具有的电阻,由材料、长度和横截面积决定
典型量级
通常在几十到几百欧姆之间,Ig 越小(越灵敏)的表头 Rg 一般越大
满偏电压
当满偏电流 Ig 流过时,表头两端电压 Ug = Ig·Rg
接入影响
表头自身分压并消耗功率 I²Rg,会扰动被测电路的电流分布
改装基础
要把表头扩程为大量程电流表或电压表,Rg 是必须先测准的参数
体温计插入热水中测温对应 →表头串入电路测电流

体温计本身吸热会改变水温;表头有电阻,串入后也会扰动原电路电流

Ug=IgRgU_g = I_g \cdot R_g
11第 11 页 · 电流表内阻(表头内阻)

满偏电流

上一页认识了表头内阻 Rg,但光有电阻还不够——表头最多能承受多大的电流?这就要引入它的另一个本征参数:满偏电流 Ig。

定义 Ig
表头指针偏到满刻度时流过的电流,是表头能测的电流上限
量级 μA 级
灵敏表头 Ig 多在 50–300μA;普通教学表头可达 mA 级
不可逾越
超过 Ig 线圈可能烧毁;改装前必须先明确 Ig
满偏电压 Ug
Ug = Ig × Rg,与 Ig、Rg 一起构成表头的两个本征参数
体重秤最大量程对应 →满偏电流 Ig

指针压到最右一格 = 秤的最大承重;Ig 就是表头的最大承流

Ug=Ig×RgU_g = I_g \times R_g
12第 12 页 · 满偏电流

满偏电压

满偏电压:定义、要点与典型应用

满偏电压
满偏电压:定义、要点与典型应用
13第 13 页 · 满偏电压

表头的欧姆定律关系(满偏

上一页认识了表头三个参数:满偏电流 Ig、内阻 Rg 和满偏电压 Ug。它们看似独立,其实被一条简单物理定律牢牢绑定——这就是表头的满偏关系。

满偏时的欧姆定律
Ug = Ig · Rg,表头在满偏时仍严格服从欧姆定律
I-V 直线上的最大点
表头本质是线性电阻,满偏是这条直线上电流最大的工作点
三量知二求第三
Ig、Rg、Ug 中任意两个确定,第三个被满偏关系唯一确定
线性前提与边界
该关系仅在线性区内成立,超过满偏后指针卡死、关系失效
标称阻值的固定电阻对应 →表头的满偏工作状态

固定电阻 V=IR 始终成立;表头满偏时也只是这条定律在 Ig 处的取值

Ug=IgRgU_g = I_g \cdot R_g
14第 14 页 · 表头的欧姆定律关系(满偏

电压表的改装(串联分压电

上一页讲过,表头的满偏电压只有零点几伏,而电池、插座动辄几伏甚至上百伏。直接把表头接上去,指针会猛打到头然后烧毁。怎么让它安全地测更大的电压?

改装思路
给表头串联一个阻值很大的电阻,让大部分电压降落在它身上
分压电阻计算
R = U/Ig − Rg,U 为电压表量程
电压表内阻很大
RV = Rg + R,远大于表头内阻,接入电路几乎不干扰
电压表必须并联
测某元件两端电压时,电压表与该元件并联
高压水管串一段细长软管再装表对应 →表头串联大分压电阻改电压表

软管阻力大,水压大多损耗在软管里,到压力表时已降到安全值

R=UIgRgR = \frac{U}{I_g} - R_g
15第 15 页 · 电压表的改装(串联分压电

电流表的改装(并联分流电

电压表用串联大电阻「分压」扩量程,那反过来——表头要测更大电流,怎么办?给它并联一条低电阻通道,把多余电流引走。这就是并联分流法。

分流原理
并联时电流按电阻反比分配,绝大部分从分流电阻流过,表头只承担满偏电流 Ig
分流电阻公式
Rs = Ig·Rg / (I−Ig),其中 I 为扩程后新量程,Ig·Rg 即满偏电压
量程倍数关系
若量程扩大到 n 倍,则 Rs = Rg/(n−1),且改装后总内阻 R′ = Rg/n
应用与边界
分流电阻须用锰铜丝等低温度系数材料;大电流时还需考虑接触电阻与散热
河道分叉对应 →并联分流电路

主河道宽且低阻,走绝大部分水流;支渠是表头,只过一小股

Rs=IgRgIIgR_s = \dfrac{I_g R_g}{I - I_g}
16第 16 页 · 电流表的改装(并联分流电

本节要点

  • 串联:电流相等、电压按阻分配;并联:电压相等、电流按导分配
  • 等效电阻:串联相加,并联满足倒数和(越并越小)
  • 表头三参数Ig、Ug、Rg满足Ug=Ig·Rg,是改装的起点
  • 电压表=表头串大电阻分压;电流表=表头并小电阻分流
  • 易错:改装后总内阻含外接部分,Rg只属表头本身
延伸主题:半偏法测电流表内阻欧姆表的内部构造非理想电源的内阻影响
17第 17 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考再看参考答案。如果你的思路不一样,欢迎带到课堂讨论。

1串联电路中电流处处相等、电压按电阻比例分配。若中间一个电阻突然变大,其余电阻两端的电压会怎么变?电源电压能否保持不变?

参考答案电源电压保持不变。该电阻分得更多电压,其余电阻分得的电压下降。总电阻变大,干路电流变小(I=U/R总),所以其他电阻上的U=IR都会下降。这正是串联电路的「分压」特性。

2家用电器都并联在220V电源上。若把台灯和电吹风改接成串联在同一回路,会发生什么?请用今天学的电压电流规律解释。

参考答案每个电器得到的电压都远低于额定220V,无法正常工作甚至不亮。家用电器额定电压相同,必须并联以保证每个用电器都在额定电压下工作,这也解释了为什么家中各灯能独立开关。

3三个相同电阻R能组成几种不同的电路?等效电阻分别多少?你能否从中归纳出推导混联等效电阻的通用步骤?

参考答案四种:全串3R、全并R/3、两串一并2R/3、两并一串3R/2。通用方法:①识别串并联关系;②从离电源最远端开始,逐段用R串=R₁+R₂或R并=R₁R₂/(R₁+R₂)化简;③逐层代入,最终合并为一个总电阻。

18第 18 页 · 课后思考