用频率估计概率

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大数定律频率与概率蒙特卡洛

用频率估计概率

用抛硬币的试验数据，看清大数定律为何成立

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大数定律频率与概率蒙特卡洛

用频率估计概率

用抛硬币的试验数据，看清大数定律为何成立

1第 1 页 · 用频率估计概率

随机事件是什么

上一页我们用频率去逼近一个数。但这一切的前提是——事件结果本身"不确定"。确定性事件没有频率估计的余地，因为答案已在那儿了。

必然事件
条件具备时100%会发生，结果完全确定
不可能事件
条件再充分也0%发生，结果完全确定
随机事件
单次结果无法预判，可能A也可能B
天气预报的"降水概率"对应 →随机事件

60%既非"必下"也非"不下"，恰是"会/不会"之外的第三种状态

2第 2 页 · 随机事件是什么

随机事件的分类

事件按'在一定条件下是否必定发生'分成三类，从确定走向不确定。

1
定条件
先确定讨论的条件，再看事件在此条件下是否发生
2
必然事件
条件一定时每次都发生，概率为1，如水烧到100℃沸腾
3
不可能事件
条件一定时每次都不发生，概率为0，如太阳从西边升起
4
随机事件
条件一定时可能发生也可能不发生，概率介于0与1之间
3第 3 页 · 随机事件的分类

概率的数学定义

我们掷硬币 1000 次，正面频率稳定在 0.5 附近。但'差不多 0.5'只是估计——数学需要一个精确的、不变的内在值。这页我们就把概率从直觉升级为严格的数学对象。

本质：函数映射
概率是把每个事件对应到 [0,1] 的函数
公理1：非负性
任何事件概率都不小于 0
公理2：规范性
必然事件（整个样本空间）概率为 1
公理3：可加性
互斥事件概率等于各自概率之和
把一块蛋糕切片对应 →概率的公理化定义

整块蛋糕=1；每片面积≥0；不相交的切片面积可直接相加

P:F→[0,1]P(A)≥0,P(Ω)=1P(A∪B)=P(A)+P(B),  A∩B=∅P:\mathcal{F}\to[0,1]\newline P(A)\geq0,\quad P(\Omega)=1\newline P(A\cup B)=P(A)+P(B),\;A\cap B=\emptyset
4第 4 页 · 概率的数学定义

频率是什么

概率的数学定义给出了 0 到 1 之间的「理论值」，但真实世界里我们没法先验地算出它。怎么办？做实验，数一数。

频率的定义
n 次重复试验中事件 A 出现 k 次，频率 f = k/n
它是观测值
来自真实试验，不依赖理论模型；换一组试验，频率可能不同
取值范围 [0,1]
从「一次都没出现」到「每次都出现」，频率都落在这个区间内
班级投票对应 →频率

全班 40 人投一次，赞成 27 人，27/40 就是这次投票的频率

fn(A)=kn,0≤k≤nf_n(A) = \dfrac{k}{n},\quad 0 \le k \le n
5第 5 页 · 频率是什么

频率与概率的关系

先顺左栏读频率的产生与波动，再顺右栏读概率的本质与稳定，最后看下方汇合——理解两者的联系与区别。

图解渲染中…
a4：频率是试验后的统计量，随试验次数 N 上下波动b4：概率是事件本身的固有属性，对固定事件是恒定常数c2：N 趋于无穷时，频率依概率收敛到概率（大数定律思想）
6第 6 页 · 频率与概率的关系

抛硬币实验

抛硬币实验分五步走完，从动手到得出结论。

1
设计实验
准备一枚均匀硬币，正面记1，反面记0，逐次记录结果
2
小样本试验
先抛10次、50次，看正面出现的频率是多少
3
扩大样本量
把次数加到1000、10000次，逐次计算正面频率
4
观察收敛趋势
随着次数增加，频率波动越来越小，越来越靠近0.5
5
得出估计结论
试验次数足够多时，频率稳定在概率附近
7第 7 页 · 抛硬币实验

频率趋于稳定的规律

从左到右看：试验次数N越大，频率曲线越收敛到真实概率附近。

图解渲染中…
p1：虚线表示硬币正面的真实概率a4：试验无穷多次时，频率极限等于概率
8第 8 页 · 频率趋于稳定的规律

大数定律

上一页抛硬币 1000 次，正面频率稳定在 0.5 附近——这只是巧合，还是数学上的必然？伯努利 1713 年给出答案：这是定理。

定性陈述
独立重复试验中，试验次数 n 越大，频率 nA/n 越接近真实概率 p，几乎一定会收敛
依概率收敛
不是'必然相等'，而是偏离任意小 ε 的概率趋于 1——'几乎一定'和'一定'有本质区别
关键前提
每次试验相互独立，且单次事件概率 p 不变（如抛同一枚均匀硬币）
理论价值
把'频率稳定'从经验观察升格为数学定理，为概率论的公理化奠定基石
抽样调查对应 →大数定律

调查 100 人结果可能偏 10%，调查 10000 人误差通常不到 1%——样本足够大时，比例几乎必然贴近真实

lim⁡n→∞P(∣nAn−p∣≥ε)=0\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\dfrac{n_A}{n} - p\right| \geq \varepsilon\right) = 0
9第 9 页 · 大数定律

频率估计概率的步骤

用频率估计概率分四步，缺一步就会出错。

1
设计试验
明确事件，确定重复次数与条件
2
收集数据
逐次记录结果，不遗漏、不挑拣
3
计算频率
频率 = 发生次数 ÷ 试验总次数
4
作出估计
当频率趋于稳定，用它估计概率
10第 10 页 · 频率估计概率的步骤

古典概型 vs 频率估计

两种方法都能算概率，什么时候套公式、什么时候做实验？

古典概型
  • 前提：样本空间有限 + 每个结果等可能
  • 方法：用公式直接算出精确概率值
  • 结果：精确值，无需试验
  • 适用：掷骰子、抽签、摸球等理想场景
频率估计
  • 前提：试验可重复即可
  • 方法：大量重复试验，用频率逼近
  • 结果：近似值，需试验次数足够大
  • 适用：复杂、不等可能的现实场景
有限等可能场景用古典概型求精确值；现实复杂场景用频率估计得近似值。
11第 11 页 · 古典概型 vs 频率估计

估计的可靠性

上一页我们看到:试验次数越多,频率越接近真实概率。但「越多」到底是多少?次数和精度之间,有怎样的定量关系?

次数越多越可靠
试验次数n越大,频率与真实概率的偏离整体上越小
精度按√n增长
频率标准差与1/√n成正比;次数翻4倍,精度才翻1倍
代价与精度的平衡
每想精确一点,所需试验量增长更快,要根据实际需求取舍
民调预测选举结果对应 →用频率估计概率

民调样本越大,预测越准;精度要翻倍,样本量需翻4倍

σp^=p(1−p)n\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
12第 12 页 · 估计的可靠性

几何概型的定义

前面用古典概型数基本事件——袋里 5 红 3 白，概率是 5/8。但要是让你随机往一个圆靶上扔飞镖，靶上有无穷多个点，根本数不过来。这时得换个思路。

核心思路
样本空间是连续区域时，用几何度量代替计数
计算公式
P(A) = 利于区域的度量 ÷ 全部区域的度量
等可能性
区域内每一点出现的机会相同
与古典概型关系
古典概型是几何概型的离散特例
数袋里红球占比对应 →量杯里红色水占比

数不清的就测——'数'换成'测'，本质都是部分占整体的几分之几

P(A)=μ(A)μ(Ω)P(A) = \dfrac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}
13第 13 页 · 几何概型的定义

几何概率的计算方法

几何概率的计算本质是求两个几何区域的度量之比。

1
确定样本空间
明确随机试验所有可能结果对应的几何区域
2
确定事件区域
在样本空间中标出所关注事件对应的子区域
3
计算几何量
分别求出两区域的面积、体积或长度
4
求比值得概率
用事件区域度量除以样本空间度量
14第 14 页 · 几何概率的计算方法

投针实验

上一页我们算了「线段落入圆内」的概率，用的是面积之比。布丰（Buffon）反其道而行——他让 π 出现在几何概率的公式里，再用频率去估计它。投针实验由此诞生。

实验设置
纸上画间距 d 的平行线，随机投长 l 的针（l≤d）
相交概率
针与平行线相交的概率 P = 2l/(πd)
反推 π
把公式变形得 π = 2l/(P·d)，用频率逼近 P 即可
历史首创
首次把随机实验与数学常数 π 联起来
抽样估计鱼塘总鱼数对应 →用频率反推 π

正面都难直接求解，反过来用大量随机实验的频率去逼近

P=2lπd⟹π≈2lP^⋅dP = \dfrac{2l}{\pi d} \quad \Longrightarrow \quad \pi \approx \dfrac{2l}{\hat{P} \cdot d}
15第 15 页 · 投针实验

蒙特卡罗方法原理

从左到右读：把一个看似不能随机的问题，一步一步改造成可以用频率逼近概率来求解的问题。

图解渲染中…
A2：把求面积、求π这类确定性问题，重写为'向某区域随机投点，统计落入比例'的概率模型。A5：由前面大数定律——频率≈概率——反推回原模型，算出的频率就是原问题答案的近似值。
16第 16 页 · 蒙特卡罗方法原理

用频率估计圆周率

用蒙特卡罗方法求π，核心是把几何概率转换成可统计的频率问题。

1
构造正方形与内切圆
画一个边长为2的正方形，里面内切一个单位圆
2
随机撒入大量点
用随机数生成N个点，均匀散布在正方形内
3
统计圆内点的个数
数出落在圆内的点M，圆外为N−M
4
频率近似概率
M/N≈圆面积/正方形面积=π/4
5
反推出π的近似值
π≈4M/N，N越大结果越接近真实值
17第 17 页 · 用频率估计圆周率

概率估计练习

点击作答

某质检员随机抽检1000件产品，发现其中50件不合格。关于该产品不合格概率，下列说法最合理的是？

18第 18 页 · 概率估计练习

频率与概率

  • ✓频率是概率的「实验替身」——算不出时，用重复试验逼近
  • ✓收敛速度约 1/√n，次数翻 4 倍精度才翻 1 倍
  • ✓本质是「无法精确求解时的近似策略」
  • ✓这一思想推广为蒙特卡罗方法，可解积分、方程等问题
延伸主题：蒙特卡罗方法的误差控制置信区间与估计可靠性贝叶斯估计与频率派对比
19第 19 页 · 频率与概率
用频率估计概率 · 知识图解