数学大学
第一型曲线积分及其应用
多元微积分（先修课） · 第五章 曲线曲面积分及其应用
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数学大学
第一型曲线积分及其应用
多元微积分（先修课） · 第五章 曲线曲面积分及其应用
平面曲线弧长
弧长是折线长度的极限：对弧长微元 ds 积分。
弧长微元
ds=√(1+y′²)dx（直角坐标）
参数形式
ds=√(x′²+y′²)dt，通用于参数曲线
空间曲线的弧长与质量
空间曲线同样有弧长微元：线密度乘弧长微元即质量微元。
空间 ds
ds=√(x′²+y′²+z′²)dt
曲线质量
m=∫ρ(x,y,z) ds
第一型曲线积分的定义与性
第一型曲线积分对弧长积分：与方向无关，线性与可加性照常。
与方向无关
ds 恒正，交换起终点积分不变
可加性
曲线分段积分相加
第一型曲线积分的计算
化为一元定积分：把曲线参数式代入，ds 换成参数微元。
代入公式
∫_L f ds = ∫_a^b f(x(t),y(t))√(x′²+y′²)dt
下限小上限大
参数下限必须小于上限
第一型曲线积分的应用
几何与物理应用：曲线质量、质心、转动惯量。
质心
坐标按线密度加权平均
转动惯量
∫r²ρ ds，r 为到轴的距离
本节要点
- ✓ds 是弧长微元，形式随坐标变化
- ✓第一型曲线积分与方向无关
- ✓计算 = 参数化代入化为一元积分
延伸主题：算一段圆弧的曲线积分求均匀曲线的质心
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1第一型曲线积分为什么与方向无关？
参考答案它对弧长 ds 积分，弧长微元恒为正，不区分曲线走向；这与第二型曲线积分（对坐标积分、与方向有关）形成对照。物理上对应无向量的积累如质量、能量。
2计算第一型曲线积分时最常见的错误是什么？
参考答案漏掉弧长微元中的根号因子 √(x′²+y′²)，直接把 dx 当 ds；或参数化后上下限写成「起点到终点」导致负值。牢记参数下限小于上限、ds 完整代入。
3参数化曲线时，参数选择会影响积分值吗？
参考答案不会。弧长积分是几何量，与参数化方式无关；不同参数算出的定积分值相同。但参数选择会显著影响计算繁简，选自然的参数（如圆用角度）最省力。