概论和幻灯片展示 Lec. 1: Probability models and
数学大学
概论和幻灯片展示 Lec. 1
概率论——不确定性的科学 · 单元1：概率模型和公理 Unit 1: Probability models and a
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概论和幻灯片展示 Lec. 1
概率论——不确定性的科学 · 单元1：概率模型和公理 Unit 1: Probability models and a
Sample space
样本空间是实验全部可能结果的集合：概率模型从它开始。
要素一
Ω 列出所有互斥且穷尽的可能结果
粒度选择
按问题需要选取结果粒度，不细不必
Sample space examples
样本空间示例：掷骰子、 sequential 两次投掷、连续测量的不同形态。
离散空间
有限或可数个结果，如骰子的 1~6
连续空间
结果连续取值，如测量误差区间
Probability axioms
概率三条公理：非负、规范性（全集为 1）、可加性（互斥可加）。
非负性
任何事件的概率 ≥ 0
可加性
互斥事件并的概率等于概率之和
Simple properties of pro
由公理推出的简单性质：空集为零、单调性、有界性。
单调性
A⊆B 则 P(A) ≤ P(B)
有界
0 ≤ P(A) ≤ P(Ω) = 1
More properties of proba
进一步的性质：容斥式加法与补集公式，是计算的主力工具。
并集公式
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
补集公式
P(Aᶜ) = 1 − P(A)
A discrete example
离散例题：等可能模型下按计数求概率，注意「不放回」细节。
等可能模型
P(A) = |A| / |Ω|
计数工具
排列组合决定分子分母的一致性
A continuous example
连续例题：区间上均匀分布，概率与长度成正比。
几何概率
P(A) = A 的长度 / 总长度
单点为零
连续空间中单点概率为零
Countable additivity
可数可加性：可数个互斥事件之并的概率等于概率之和，是公理的推广。
推广
从有限个互斥事件推广到可数无穷个
必要原因
极限定理与连续样本空间都依赖它
本节要点
- ✓模型三件套：样本空间、事件、公理
- ✓并集公式与补集公式是计算主力
- ✓可数可加性支撑连续模型
延伸主题：做一次离散计数概率题做一次几何概率题
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么样本空间的粒度选择很重要？
参考答案粒度过粗会丢失区分所需事件的信息，过细则计算冗余。好的样本空间恰好能表达所关心的事件——掷两枚硬币关心顺序就要四个结果，不关心顺序两个即可。
2连续样本空间中单点概率为零，那「恰好发生某值」如何讨论？
参考答案连续情形用区间与密度描述：单点概率为零但落在任意小区间内有正概率。问题应改问「落在某范围内」的概率，这正是概率密度函数的用武之地。
3可数可加性为什么不能由有限可加性自然推出？
参考答案可数无穷个互斥事件之并涉及取极限，有限加法无法覆盖。它在数学上作为公理独立引入，是让概率与极限运算兼容的关键假设。