已经解决了的问题 Solved problems
数学大学
已经解决了的问题 Solved
概率论——不确定性的科学 · 单元8：极限定理和经典统计 Unit 8: Limit theorems and c
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概率论——不确定性的科学 · 单元8：极限定理和经典统计 Unit 8: Limit theorems and c
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经典统计习题一：由大样本构造均值的置信区间。
流程
算样本均值与标准误，乘 z 分量
解读
区间宽度反映估计的精确程度
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经典统计习题二：正态模型的似然函数与最大似然估计。
似然
写出对数似然函数
求解
求导令零解出 μ 与 σ² 的 MLE
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经典统计习题三：估计量的无偏性与一致性检验。
无偏
估计量的期望等于真参数
一致
样本量增大时估计依概率收敛到真值
本节要点
- ✓置信区间三件套：均值、标准误、z 值
- ✓MLE 求解：对数似然求导令零
- ✓好估计量看无偏与一致
延伸主题：重做一遍区间估计验证 MLE 的无偏性
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1这组习题的核心训练目标是什么？
参考答案把「估计」从直觉变成流程：选估计量、评估精度、给出区间。三道题分别对应区间构造、极大似然与评价准则——经典统计推断的最小闭环。
2标准误与标准差的区别是什么？
参考答案标准差描述单个数据点的波动，标准误（σ/√n）描述样本均值这个统计量的波动。区间估计用标准误——因为我们不确定的是均值，不是单个观测。
3大样本下 σ 未知时，均值置信区间怎么调整？
参考答案用样本标准差 s 替代 σ，z 分量换成 t 分布的 t 分量（自由度 n−1）。n 较大时 t 与 z 几乎重合，小样本时 t 更宽以反映额外不确定性。