随机事件与概率

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概率初步随机事件概率思维数学图解

随机事件与概率

看透随机背后的规律，从直觉走到严谨的概率思维

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概率初步随机事件概率思维数学图解

随机事件与概率

看透随机背后的规律，从直觉走到严谨的概率思维

1第 1 页 · 随机事件与概率

等可能情形下的概率计算

上一节我们弄清了事件和概率的概念，但要落笔算一个具体的概率值，最常用的前提是：所有基本结果出现的可能性相同。今天就在这个'等可能'的世界里，把概率算明白。

古典概型

样本空间有限 + 每个基本结果等可能，两者缺一不可

概率公式

事件A的概率 = 有利结果数 / 总结果数

「等可能」是假设

骰子要质量均匀、硬币要两面完全对称，常需主动假定

关键技术：计数

用排列组合算出 |A| 和 |Ω|，难点在避免重复与遗漏

典型应用

骰子、扑克牌抽样、彩票、随机分组、抽样检验等

均匀草坪随机采样对应 →等可能概率模型

草坪每块长得一样 ⇒ 任意一处被采到的概率相同；基本结果等可能 ⇒ 概率只取决于计数

P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}

2第 2 页 · 等可能情形下的概率计算

不可能事件

前面我们算了掷骰子、抽卡片各种事件的概率，结果都落在 0 和 1 之间。但如果我问你：「掷一个标准骰子，点数是 7 的概率是多少？」——这就不是一道计算题了。

定义

在试验中任何一次结果都不会出现的事件，对应数学上的空集 ∅

概率为零

P(不可能事件) = 0，由概率的公理化定义可推出

逆命题不成立

概率为 0 的事件未必是不可能事件（连续分布中取某定值）

与必然事件对偶

Ω 是必然事件概率为 1，∅ 是不可能事件概率为 0

盒子里只有红球却想抽到白球对应 →不可能事件

白球根本不在样本空间里，无论怎么抽都抽不到

P(\varnothing) = 0

3第 3 页 · 不可能事件

随机事件

前面算过一次抛掷“出现正面”的概率。一次抛掷前无法预知结果；但把一次试验的全部结果先列成 Ω，再把满足某条件的那些结果收集起来，随机事件就是这个结果集合。

事件是结果集合

固定一次试验和样本空间 Ω，事件是 Ω 的子集，由若干结果组成。

事件可以组合

用并集、交集、补集表达“至少一个”“同时发生”“不发生”等关系。

概率是事件的数

概率是定义在事件上的数：0≤P(A)≤1，且 P(Ω)=1。

状态与概率

“是否发生”是事件状态，“可能性多大”是概率值，二者不要混为一谈。

风险判断应用

把“设备故障”建成事件后，可据 P(故障) 设置预警阈值与干预顺序。

抽奖箱中的彩球对应 →随机事件

把每种结果想成一只球；事件像一组指定颜色或编号的球，摸出后只判断属于哪组。

A\subseteq\Omega,\quad 0\le P(A)\le1,\quad P(\Omega)=1

4第 4 页 · 随机事件

必然事件

上一页我们聊了石头孵不出小鸡——那是不可能事件，概率为 0。现在翻到硬币的另一面：有没有那种「闭着眼都知道一定发生」的事？这就是必然事件。

必然事件定义

在一定条件下，每次试验都必然会发生的事件

概率恒为 1

P(必然事件)=1，事件百分之百会发生

与不可能事件对照

概率为 1 与概率为 0，划定随机现象的两个极端

在概率论中的意义

为概率取值划定边界：所有事件概率都落在 [0,1] 之间

太阳从东方升起对应 →必然事件

在地球自转条件下，太阳每天必定从东方升起，没有例外

P(\text{必然事件}) = 1

5第 5 页 · 必然事件

确定性事件

前两页我们分别认识了概率为 1 的必然事件和概率为 0 的不可能事件。它们看似对立，其实有一个共同点——结果在给定条件下完全可以预判。这就是确定性事件。

定义

在给定条件下，结果可以预先确定的事件

两种类型

必然事件（P=1）一定发生；不可能事件（P=0）一定不发生

概率的边界

所有随机事件的概率都落在 0 与 1 之间（含端点）

延伸：P=0的陷阱

连续分布中单点概率为 0，但该点并非不存在

程序函数 f(x)对应 →确定性事件

给定输入 x，输出 f(x) 唯一确定——条件锁定结果，无需概率

0 \le P(A) \le 1

6第 6 页 · 确定性事件

概率

前面我们把事件分成了可能、不可能、必然，但「可能」到底有多可能？天气预报 70%、体检阳性 5%——这些数字其实都是概率。

概率的本质

用一个0~1之间的数，量化随机事件发生的可能性

取值范围

必然事件为1，不可能事件为0，其他事件介于其间

三条基本性质

非负性、规范性（P(Ω)=1）、可加性（互斥事件）

频率逼近概率

重复试验次数越多，事件频率越稳定地趋向其概率

反复抛硬币对应 →频率收敛于概率

抛得越久，正面朝上的比例越接近1/2

P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{n_A}{n}

7第 7 页 · 概率

等可能试验

上页我们用 P(A)=m/n 算概率,但这公式藏着前提——所有基本结果必须等可能。哪些试验真满足,哪些只是「看起来」满足?这页拆开看。

定义

每个基本事件(不可再分的结果)发生的概率都相同

两个前提

样本空间有限,结果具对称性或无偏性

概率公式

P(A)=m/n,m 为事件 A 含的基本事件数

判定陷阱

不可仅凭「对称」就判定为等可能

典型应用

古典概型、抽样模型、博弈公平性判断

公平抽签对应 →等可能试验

公平的前提是每张签完全一样;形式对称不等于概率相等

P(A) = \dfrac{m}{n}\quad(n\text{为基本事件总数},m\text{为}A\text{含的基本事件数})

8第 8 页 · 等可能试验

概率公式 P(A)=m/n

抽奖箱里有 10 张券，其中 3 张能中奖。你随手摸一张——中奖概率直觉上是 3/10。这正是公式 P(A)=m/n 最朴素的样子：分子是有利结果数，分母是总结果数。

m 的含义

事件 A 出现的结果数，即满足条件的样本点数

n 的含义

所有等可能结果的总数，即样本空间的大小

适用前提

试验必须等可能，每个基本结果出现机会相同

取值范围

0 ≤ P(A) ≤ 1，不可能事件取 0，必然事件取 1

切披萨对应 →P(A)=m/n

整张披萨是 n，你拿到 m 片，m/n 就是你占的比例

P(A) = \dfrac{m}{n},\quad 0 \leq m \leq n,\quad 0 \leq P(A) \leq 1

9第 9 页 · 概率公式 P(A)=m/n

本节要点

✓概率衡量的是可能性的大小，而非确定性判断
✓P(A)=m/n 仅在结果等可能时成立，否则公式失效
✓必然、随机、不可能事件构成确定性的三个层级
✓计算的关键不在公式，而在数对 m 和 n，不重不漏

延伸主题：用频率估计概率条件概率入门古典概型与几何概型

10第 10 页 · 本节要点

课后思考

先独立写下思路，再逐项对照参考答案，重点检查公式的适用条件与迁移边界。

1为什么只有所有结果等可能时，事件所含结果数与总结果数之比才能表示其概率？

参考答案等可能意味着每个结果获得相同机会。总数n提供统一尺度，事件含m个结果，所以可用P(A)=m/n；结果机会不等时不能只比较个数。

210张奖券中有2张有奖，先后不放回地抽两张，至少一张有奖的概率为何不是2/10？

参考答案先算两张都不中奖：8/10×7/9=28/45。因此至少一张有奖为其对立事件，概率是1-28/45=17/45。

3若一次试验的各个结果并非等可能，还能直接照搬m/n吗？若能，需要满足什么条件？

参考答案一般不能。若m和n统计的是等可能的基本单位，公式仍可用；若结果权重不同，就不能只数结果个数，还要考虑各结果的概率。

11第 11 页 · 课后思考