数学大学
多元函数的极值
微积分——多元函数与重积分 · 第二章 多元函数微分学应用
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多元函数的极值
微积分——多元函数与重积分 · 第二章 多元函数微分学应用
极值点的概念和必要条件
极值点的必要条件：可微函数在极值点处梯度必为零（驻点）。
定义
邻域内函数值都不超过（不低于）它
驻点
梯度为零只是必要条件，不充分
极值点的判别法
二阶判别：AC−B² 结合 A 的符号判定极小、极大或鞍点。
判别量
A=f_xx, B=f_xy, C=f_yy
三分支
AC−B²>0 看 A 符号；<0 鞍点；=0 失效
极值问题举例
极值例题：找驻点、二阶判别、下结论的完整流程。
流程
解梯度零点 → 判别 → 写结论
注意
判别失效时回定义直接比较
本节要点
- ✓驻点：梯度为零的必要候选
- ✓AC−B² 三分支判别极值
- ✓判别失效回定义比较
延伸主题：找两个驻点并判别回顾一元极值判别的对应关系
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1AC−B²=0 时判别法失效，此时怎么办？
参考答案二阶信息不足以定形，需回到定义沿不同方向直接比较函数值，或用更高阶泰勒项分析。这类「退化驻点」的处理是多元极值与一元的本质差异之一。
2极值的必要条件「梯度为零」在不可微点还成立吗？
参考答案不一定。不可微点（如尖点、角点）可能是极值点却没有梯度可言，|x|+|y| 在原点即为例。完整做法是：可微区域找驻点，不可微点单独检查。
3应用最值问题中，边界与实际背景各扮演什么角色？
参考答案应用问题的定义域往往由物理约束给出，最值要么在内部驻点、要么在边界达到，两类候选都要算；而实际背景（如长度非负、整数约束）负责剔除不合理解的候选。