§3.5 附有参数的条件平差

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✦ §3.5 附有参数的条件平差工学 §3.5 附有参数的条件平差附有参数的条件平差原理

测量平差条件方程参数选取精度评定

附有参数的条件平差

搞懂参数与条件方程并存的完整平差体系：从自由度分析到精度评定全链路

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测量平差条件方程参数选取精度评定

附有参数的条件平差

搞懂参数与条件方程并存的完整平差体系：从自由度分析到精度评定全链路

1第 1 页 · 附有参数的条件平差

条件平差的回顾

上页我们学了'附有参数'的条件平差，它其实是在更基本的方法上多引入 u 个参数。要理解那个推广，先回到那个'基本款'——只靠条件方程与最小二乘，怎么把一组观测值拧到自洽。

核心思路

不引入额外参数，只用改正数 V 让条件方程成立

条件数 r

r = n − t，n 观测值总数，t 必要观测数

最小二乘

满足条件的所有 V 中，选 V^TPV 最小的那组

法方程

APA^T K = W，解 K 后由 V = P⁻¹A^TK 求改正数

精度评定

单位权方差 σ̂₀² = V^TPV / r，据此评定精度

拼图游戏对应 →无参数条件平差

观测值是散落的拼图块，条件方程是图案（约束），平差就是找到最贴合的拼法

\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{K} = \boldsymbol{W}

2第 2 页 · 条件平差的回顾

为什么要引入参数

条件平差只用观测量和条件方程,最终结果藏在改正数里。但测站平差真正想要的,是测站坐标或高程——这些在纯条件平差中无法直接读出。引入参数,就是为想求的量安排一个位置。

纯条件平差的盲区

结果只能通过改正数反算,想要的量不直接出现

测站平差的实际需求

需要直接得到测站点的坐标、高程等几何量作为平差结果

参数充当桥梁

把观测量和待求量显式连起来,结果一眼可读

参数个数有下限

独立参数 u ≥ 必要观测数 t,余下构成 r=n−u 个条件方程

解方程时设未知数对应 →附有参数平差

把想求的量直接设为参数,省去反推改正数再换算的步骤

r = n - u \quad (\text{条件数}=\text{观测数}-\text{独立参数数})

3第 3 页 · 为什么要引入参数

函数模型的建立

上一节说明了为什么引入参数能让建模更灵活。本节要看具体怎么写——参数一旦进入条件方程，整个方程组的结构会怎样变化？

参数选取

u个参数，其中t个必要，(u−t)个多余(选择)参数

方程形式

引入参数后条件方程变为F(L̂, X̂)=0，参数与观测共现

线性化结果

在近似值处泰勒展开，得A·V̂ + B·δx̂ + W = 0

方程个数

条件方程数c = r−(u−t)，r为多余观测数

几何证明的辅助线对应 →多余参数

辅助线本身不在结论里，但加上它能让证明步骤更简洁；多余参数也起同样作用

A\hat{V} + B\hat{x} + W = 0

4第 4 页 · 函数模型的建立

两类模型的对比

都是处理多余观测的平差方法，但「未知量构成」与「方程结构」有本质区别。

无参数条件平差

未知量仅含 c 个条件改正数 V̂
仅有 c 条条件方程，等于多余观测数
必须直接列写所有几何或物理条件
适用于条件少且易于列写的简单网

附有参数条件平差

未知量含 t 个参数与 c 个条件改正数
含 n 条观测方程与 c 条条件方程
可选取部分必要观测量作辅助参数
适用于条件复杂或难以直接列写的网

条件方程难列时，把多余约束转化为参数方程——这是经典方法面对「难条件」网型的实用折中。

5第 5 页 · 两类模型的对比

法方程的推导

下面把带参数条件方程逐步化成只含参数改正量的约化法方程。

线性化条件

在近似值处展开，记x为参数改正量，得Av+Bx=f

设定目标

最小化vᵀPv，按权阵P权衡各观测改正量

引入乘子

拉格朗日求导得v=P⁻¹Aᵀk及Bᵀk=0

写成法方程

令N=AP⁻¹Aᵀ，法方程为Nk+Bx=f与Bᵀk=0

消去乘子

反解k并代入Bᵀk=0，得BᵀN⁻¹Bx=BᵀN⁻¹f

6第 6 页 · 法方程的推导

平差计算流程图

沿箭头自上而下读；两路在中间汇合后向下推进。法方程分块求 x2 是这张图的计算枢纽。

图解渲染中…

a4：总方程数 = r 个多余观测 + u 个附加参数a5：B 是改正数 V 的系数阵，A 是参数 x 的系数阵a7：x2 对应不能由起算数据直接定出的参数a10：σ₀² = VᵀPV / r，即单位权中误差

7第 7 页 · 平差计算流程图

单位权中误差

法方程解出来了，残差 V 也求得了——但这套平差结果到底准不准？我们还需要一把尺子来衡量整体精度，这就引出了验后单位权中误差。

验后估计

真值 σ₀ 未知，用平差后的残差信息反推出它的估计值 σ̂₀

核心公式

σ̂₀² = VᵀPV / r，r 为多余观测数（即条件方程个数）

自由度 r = c

附有参数的条件平差中，多余观测数等于独立条件方程个数 c

VᵀPV 间接求法

利用法方程的 K、W 等中间量，无需逐个求残差即可得到

精度评定基准

衡量整体精度；σ̂₀ 与先验 σ₀ 差异过大则提示权设置不当

用样本方差估总体方差对应 →用 VᵀPV / r 估 σ₀²

看不到真值时，用观测量的离散程度反推整体误差水平

\hat{\sigma}_0 = \pm\sqrt{\frac{V^TPV}{r}},\quad r = c

8第 8 页 · 单位权中误差

协因数阵与权倒数

上页流程图最后一步是「求参数 x」，但光有数字还不够——测绘里没有精度结论的参数没有工程意义。要评估精度，就得把法方程系数阵求逆，得到协因数阵。

协因数阵 Q_x

参数向量的精度结构矩阵，定义为法方程系数阵的逆

求逆公式

Q_x = N_bb^(-1) = (B^T P B)^(-1)，B 为误差方程系数

权倒数

Q_x 对角元 Q_ii = 1/P_i，反映单个参数的相对精度

对角 vs 非对角

对角线是各参数权倒数；非对角线反映参数间相关性

弹簧网的硬度与形变对应 →法方程 N 与协因数阵 Q

N 是约束总硬度，越大约束越紧；求逆相当于把硬度翻转成可形变空间，Q 越小参数越稳

Q_x = N_{bb}^{-1} = (B^T P B)^{-1}

9第 9 页 · 协因数阵与权倒数

协因数传播律的应用

从观测值出发，看协因数经传播律分叉到改正数与参数，再落地为权倒数。

图解渲染中…

a2：Q_LL = P^-1，由观测权阵求逆得到b1：线性函数 Y=FX 的协因数公式 Q_Y=FQ_XF^Td1：Q_xx̂ 的对角线元素，用于精度评定

10第 10 页 · 协因数传播律的应用

参数函数中误差

平差求出参数估值 X̂ 后，工程上常要评估『由参数组成的某个量』的精度——比如控制网最弱点的高程、某条边长的可靠性。这就要靠参数函数的中误差来回答。

参数函数 φ

由若干平差参数 X̂ 组合而成的待评精度量，记作 φ = F(X̂)

线性化前提

若 φ 非线性，须先在 X̂₀ 处 Taylor 展开取一阶项，得到 φ ≈ f^T·X̂

协因数传播律

线性函数 φ 的协因数 Q_φ = f^T·Q_X̂·f，参数精度由此『传播』到 φ

中误差公式

m̂²_φ̂ = m̂₀²·f^T·Q_X̂·f，三要素为系数 f、参数协因数阵 Q_X̂、单位权方差 m̂₀²

Q_X̂ 的来源

由本章法方程系数阵求逆得到：解 N·X̂ = W 后，N⁻¹ 即参数协因数阵 Q_X̂

已知两坐标分量 Δx, Δy 的精度对应 →求两点间边长 S 的精度

S=√(Δx²+Δy²) 是分量的函数；f 即 S 对各分量的偏导——传播律的几何直觉

\hat{m}_{\hat{\varphi}}^2 = \hat{m}_0^2 \cdot f^T \cdot Q_{\hat{X}} \cdot f

11第 11 页 · 参数函数中误差

水准网平差算例

附有一个参数的二等水准网条件平差

水准网平差算例

附有一个参数的二等水准网条件平差

12第 12 页 · 水准网平差算例

算例详细计算步骤

逐行拆解算例：选参数、列条件方程、算闭合差、组法方程、回代求改正数。

选 u 个参数

选 u > t 个独立量作参数；多余观测 r = n − t

列立条件方程

共 r + u 个：r 个观测条件 + u 个参数方程

计算闭合差 W

代入观测值与参数近似值，得到常数项向量 W

组成并解法方程

组 N = AQA^T，写成 NK + W = 0；解出 K = −N⁻¹W

回代求 V 与平差值

V = QA^TK，再算 L̂ = L + V

13第 13 页 · 算例详细计算步骤

精度评定实例

图分两条路径：左路算 σ₀，右路算 σφ，末端汇合。先走通流程，再核公式细节。

图解渲染中…

A8：σ₀ = √(VᵀPV/r)，r 为多余观测数B1：Qxx 由法方程系数阵 N 求逆得到B4：Qφφ = fᵀQxx f，协因数传播律B5：σφ = σ₀√Qφφ，即平差值函数中误差

14第 14 页 · 精度评定实例

知识要点总结

✓模型：条件约束为骨架，参数选取为补充
✓解算：法方程联立求解，消参回代两步骤
✓精度：协因数传播律贯穿评定全流程

延伸主题：参数选取的边界与准则附有限制条件的间接平差最小二乘配置

15第 15 页 · 知识要点总结

核心概念自测

点击作答

附有参数的条件平差中，总观测数n=10、必要观测数t=4，又附加u=2个参数，则条件方程总个数是？

16第 16 页 · 核心概念自测

课后思考

先合上书，独立想一会儿；再看参考答案核对思路。

1条件平差和附有参数的条件平差，本质区别究竟在哪里？是参数个数的不同，还是函数模型结构的差异？

参考答案本质在于是否引入参数及参数的取舍。u=0时退化为纯条件平差；u等于必要观测数时退化为间接平差。三者统计等价。

2如果观测值中混入了少量粗差，按附有参数的条件平差求解时，最小二乘解会如何反应？

参考答案最小二乘会把粗差平均分摊到所有改正数上，使整体结果偏离真值。需结合抗差估计或粗差探测来识别。

3非线性函数模型下，附有参数的条件平差的线性化近似何时会失效？

参考答案当初值偏差大或模型强非线性时，泰勒展开截断误差不可忽略，迭代可能不收敛或收敛到错解。

17第 17 页 · 课后思考