数学大学
二重积分的计算
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
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数学大学
二重积分的计算
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
二重积分的计算：直角坐标
X 型区域先 y 后 x：内层上下限是 x 的函数，外层是常数。
定限
y 从下边界 φ₁(x) 积到上边界 φ₂(x)
次序
内层对 y 积分，结果再对 x 积分
二重积分的计算：直角坐标
Y 型区域先 x 后 y：左右边界给出 x 的积分限。
定限
x 从左边界 ψ₁(y) 积到右边界 ψ₂(y)
选择
哪侧边界更简单就选哪种次序
二重积分的计算：直角坐标
交换积分次序：先由原限反画区域，再按新次序重新定限。
反画区域
由累次限恢复积分区域的草图
重定限
新次序的限从区域图重新读出
本节要点
- ✓X 型先 y 后 x，限是 x 的函数
- ✓Y 型先 x 后 y，限是 y 的函数
- ✓换序三步：反画区域、重读限、再积分
延伸主题：练两道换序题体会哪种次序更简单
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么「内层限可以是函数，外层限必须是常数」？
参考答案外层积分时内层变量已积掉，结果是外层变量的函数，所以外层限必须是确定常数；内层积分时外层变量还没动，可随它变化。这个结构是累次积分的骨架。
2什么时候必须交换积分次序？
参考答案两类情形：内层原函数积不出来（如 e^{-y²} 对 y），或内层限分段严重。换序后内层变成可积函数或限变得简单——换序不是技巧炫技，而是可行性需要。
3被积函数含 e^{−x²} 这类「积不出」的因子时怎么办？
参考答案不要在直角坐标下硬积。把区域换到极坐标：e^{−x²−y²} 变成 e^{−r²}，配合面积元 r dr dθ，内层积分立刻可积。这正是极坐标最经典的应用场景。