土体中的应力计算

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✦ 土体中的应力计算地理土体中的应力计算应力状态
土力学自重应力附加应力应力叠加

土体中的应力计算

搞清分布规律、叠加原理与经典假设的适用边界

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土力学自重应力附加应力应力叠加

土体中的应力计算

搞清分布规律、叠加原理与经典假设的适用边界

1第 1 页 · 土体中的应力计算

什么是应力状态

上页算出了某个面上的力，但只看它，就像只看地图上的一个投影，无法确定物体内部这一点的完整受力方式。接下来要把所有方向的分量一起记录。

应力张量
不能用一个数概括；完整描述需使用二阶应力张量
九个分量
三个互相垂直的截面上各有三个分量，含三个正应力和六个切应力
六个独立量
力矩平衡使对应切应力相等，因此应力矩阵对称，仅六个量独立
坐标相关性
转动坐标后各分量通常改变；物理状态不变，主应力和不变量也不变
空间中用坐标定位点对应 →用应力张量描述点

三个坐标共同锁定位置；九个原始分量锁定受力，其中六个独立；换角度只改变表示，不改变对象

σ=[σxτxyτxzτxyσyτyzτxzτyzσz],σij=σji\boldsymbol{\sigma}=\begin{bmatrix}\sigma_x&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{xy}&\sigma_y&\tau_{yz}\\ \tau_{xz}&\tau_{yz}&\sigma_z\end{bmatrix},\quad \sigma_{ij}=\sigma_{ji}
2第 2 页 · 什么是应力状态

土单元体与应力分量

立方体微元上9个应力分量：3个法向垂直作用面，6个切向（3对）平行作用面。

图解渲染中…
m1：代表土体取出的一个点，6个面上均贴有应力n1：垂直于作用面的应力，使土体压或拉t1：平行于作用面的应力，使土体错动t2：下标i为面法向，j为应力方向（张量记号）
3第 3 页 · 土单元体与应力分量

应力状态的Mohr圆表示

上一页我们记下了土单元体六个面上的应力分量，相当于攒了"原始数据"。要算某个斜截面应力，难道每次都重新列平衡方程？莫尔圆把这件事变成"看图说话"。

坐标轴约定
横轴σ为正应力、纵轴τ为剪应力。τ下正上负，让逆时针旋转对应角度2α
圆心与半径
圆心((σ1+σ3)/2, 0)、半径(σ1-σ3)/2。整个圆由两个主应力唯一确定
任意截面的应力
在圆上选一点作起点，绕圆心转2α角到新点→对应物理上转α角截面的(σ, τ)
三个关键位置
圆与σ轴交点即主应力(τ=0)；最高点对应τmax=(σ1-σ3)/2；最左点是σmin
手表表盘对应 →莫尔圆

表心=圆心(平均应力)，指针长=半径(τmax)，指针转一圈=扫过全部截面方向

σα=σ1+σ32+σ1−σ32cos⁡2α, τα=σ1−σ32sin⁡2α\sigma_\alpha=\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}+\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos 2\alpha,\ \tau_\alpha=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\sin 2\alpha
4第 4 页 · 应力状态的Mohr圆表示

有效应力原理的提出

上一页画了 Mohr 圆，那是土单元的总应力。可一旦是饱和土，总应力就得在颗粒和水之间分账。Terzaghi 1923 年给出答案：总应力 = 有效应力 + 孔隙水压力。

提出背景
Terzaghi 1923 年首次提出，解决饱和土强度变形无法用总应力解释的问题
核心公式
总应力 = 有效应力 + 孔隙水压力
符号含义
σ 为总应力，σ' 为有效应力，u 为孔隙水压力，均取正应力
物理意义
只有有效应力 σ' 真正控制土骨架的变形与强度
湿海绵对应 →总应力分解

手压饱和海绵：总力 = 骨架承担 + 水承担，土里同理

σ=σ′+u\sigma = \sigma' + u
5第 5 页 · 有效应力原理的提出

饱和土的有效应力公式

外荷载产生的总应力，在饱和土里一分为二：水和骨架各扛一份。

图解渲染中…
B2：水承担的压力，方向向外，各向相等B3：土骨架颗粒间的接触应力
6第 6 页 · 饱和土的有效应力公式

有效应力计算三步法

把公式 σ'=σ−u 落到具体土层上，按顺序分三步走，缺一不可。

1
确定总应力
沿深度自上而下逐层累加 γ·h，得到该点的总应力 σ
2
确定孔压
由地下水位起算 u=γw·hw，仅水位以下才存在孔压
3
相减求有效应力
代入 σ' = σ − u，得到真正由土骨架承担的应力
7第 7 页 · 有效应力计算三步法

自重应力的形成

土体尚未受建筑荷载前，仅由土的自重产生的应力状态

自重应力的形成
土体尚未受建筑荷载前，仅由土的自重产生的应力状态
8第 8 页 · 自重应力的形成

自重应力计算公式

自重应力公式本质是把地表到目标深度的土柱重量，传到那个截面上。

1
取研究截面
在深度 z 处取一个水平截面，想象它之上的土柱
2
微元累加
把土柱切成无数薄层 dz，每层重 γ dz 都传下去
3
从0积到z
对 γ 从地表到 z 积分，累加所有上覆重量
4
均质γ常数
γ 不随深度变化，可提到积分号外
5
得到σcz
积分结果就是 σcz = γz，深度越大应力越大
9第 9 页 · 自重应力计算公式

成层土的自重应力

土层重度不同时，自重应力要分层累加：先把每层的贡献算出来，再一路加到底。

1
划分土层
根据地质剖面确定各层顶底面埋深与厚度
2
取各层重度
每层重度γᵢ可能不同，分别查取或实测
3
逐层累加
第n层底面应力 = Σγᵢhᵢ (i=1~n)
4
绘分布图
沿深度绘阶梯折线，突变处即层界面
10第 10 页 · 成层土的自重应力

地下水位的影响

从土体剖面出发，看地下水位如何把计算分成两段，再汇到有效应力。

图解渲染中…
E：天然重度 γ：自然含水状态下的单位重量F：浮重度 γ' = γ_sat − γ_w，扣除水浮力
11第 11 页 · 地下水位的影响

基底压力的概念

自重应力是土自己压自己。楼盖上去之后呢？上部荷载加基础再加覆土的重量，最终都通过基础底面传给地基——这个传给地基的力，就是基底压力。

基底压力定义
基础底面与地基土之间的接触压力，方向竖直向下，是地基对基础的反作用力
力的构成
上部结构荷载 F、基础自重与基础上覆土重 G 之和，除以基底面积 A
附加应力的源头
基底压力在地基中产生附加应力——没有它就没有附加应力计算问题
常见误区
不能直接用 F/A，G（基础与覆土自重）必须算进去
脚踩体重秤对应 →基底压力

脚对秤的压力不只是体重，还包含脚的力；同理 p = (F+G)/A

p=F+GAp = \dfrac{F + G}{A}
12第 12 页 · 基底压力的概念

基底压力分布规律

图分两支：左看刚性基础的线性分布与均匀沉降，右看柔性基础的均匀分布与碟形沉降

图解渲染中…
C：刚性基础：压力线性变化（教学简化）D：柔性基础：压力各处相等F：实际工程中边缘应力常偏大H：柔性基础中部沉降呈碟形
13第 13 页 · 基底压力分布规律

中心荷载下基底压力

中心荷载下基底压力按 P=F/A 求解，整个过程分四步完成。

1
判别荷载类型
合力作用线穿过基础形心，偏心距 e=0
2
确定 F 与 A
F 为基础顶面竖向力之和，A 为基础底面面积
3
代入公式
P=F/A，直接算得基底压力数值
4
判断分布形态
压力沿基底均匀分布，分布图与底面形状一致
14第 14 页 · 中心荷载下基底压力

偏心荷载下基底压力

偏心荷载下基底压力不均匀，四步把它算清楚：先定位偏心，再分解荷载，接着叠加求压力，最后定位最大角点。

1
确定偏心距
荷载作用点到底板形心的距离e，决定偏心程度
2
分解F与M
偏心力平移到形心，分解为轴力F和弯矩M=F·e
3
叠加求压力
由两部分叠加：轴力均布F/A，弯矩线性±M/W
4
定位最大点
偏心同侧角点压力最大，异侧角点压力最小
15第 15 页 · 偏心荷载下基底压力

刚性基础vs柔性基础

两种基础刚度假设直接决定基底反力分布形态，是沉降计算的起点。

刚性基础
  • 假设：抗弯刚度无穷大，不变形
  • 反力分布：边缘大、中心小（马鞍形）
  • 计算：按静力平衡条件反求反力
  • 变形：基底保持平面，整体倾斜
柔性基础
  • 假设：抗弯刚度为零，任意变形
  • 反力分布：均匀分布，等于荷载
  • 计算：反力直接取上部荷载强度
  • 变形：随地基沉降，底面凹陷
工程中两者皆为理想假设；简化按柔性算，需精细分析时按刚性解。
16第 16 页 · 刚性基础vs柔性基础

附加应力的定义

盖房子前，地基里只有自重应力在静静平衡。一旦楼盖起来，重量压下去，地基里的应力场就被打破了。

原状平衡态
天然地基仅有自重应力，处于静力平衡
外荷载介入
建筑物重量通过基础传到地基，成为新的力源
附加应力增量
自重应力之外、由外荷载引起的那部分应力
叠加关系
总应力等于自重应力与附加应力之和
湖面扔石子对应 →地基上盖房子

平静水面被打破后波纹向外扩散，正像附加应力从基底向深处传播

σz=σ−σcz\sigma_z = \sigma - \sigma_{cz}
17第 17 页 · 附加应力的定义

布辛内斯克课题

上一页我们给「附加应力」下了定义，但真正落到计算上怎么办？1885年法国人布辛内斯克给出了一个经典答案——半无限弹性体表面一点作用竖向集中力，求体内任一点的应力。

课题设定
弹性半空间表面一点作用竖向集中力F，求内部任意一点M的六个应力分量。
基本假设
土体视为均匀、各向同性、线弹性；忽略自重；力作用点为数学上的点。
竖向应力解
σz = K·F/z²，z为深度，r为水平距，K只与几何比r/z有关。
影响系数K
K = (3/2π)·[1/(1+(r/z)²)]^(5/2)；r=0时最大≈0.48，随r增大迅速衰减。
意义与边界
是矩形/条形均布荷载附加应力积分的基础；但假设过理想，深层和分层土误差大。
手指按进果冻对应 →集中力在弹性体内传播

指尖=力作用点；果冻=半无限弹性体；凹陷扩散且衰减=应力泡分布。

σz=3F2πz2⋅1[1+(r/z)2]5/2=K⋅Fz2\sigma_z = \frac{3F}{2\pi z^2}\cdot\frac{1}{\left[1+(r/z)^2\right]^{5/2}} = \frac{K\cdot F}{z^2}
18第 18 页 · 布辛内斯克课题

布辛内斯克公式推导

在五个关键步骤中，把地表集中力作用下弹性半空间内的竖向应力解推导出来。

1
模型假设
半无限均质弹性体，地表作用竖向集中力 P
2
应力函数
引入 Galerkin 应力函数 φ，应力分量由其求导得出
3
双调和方程
φ 满足 ∇⁴φ = 0，取 ln(R+z) 型试解
4
边界条件
在地表 z=0 上应用应力边界条件确定常数
5
化简公式
整理为 σz = K·P/r²，K 仅与位置相关
19第 19 页 · 布辛内斯克公式推导

角点法求矩形基础附加应力

角点法通过划分矩形和叠加，把任意点应力转化为若干角点应力之和。

1
确定计算点
标出所求应力点P，判断它在基础内、边缘还是外侧
2
过P划分矩形
过P作两条平行于基础边的辅助线，把荷载面积分成最多4个矩形
3
查表求角点应力
每个矩形按长宽比和深宽比查角点应力影响系数αc，算出角点下应力
4
叠加得总应力
按P的位置对各矩形应力做加或减，得到P点的附加应力
20第 20 页 · 角点法求矩形基础附加应力

应力系数表的应用

流程图展示查表计算的两种路径：角点法直接查，中心点法需分块后求和。

图解渲染中…
C1：关键分支：选择角点法还是中心点法D2：中心点法将基础分成4个全等小矩形D3：每块查表求和,α总=α1+α2+α3+α4
21第 21 页 · 应力系数表的应用

附加应力分布规律

附加应力从基底q0出发，沿深部与平面两个方向扩散，每条分支走完即对应一条分布规律。

图解渲染中…
A：基底附加应力，基础底面传给土层的均布压力F：影响深度约为基础宽度B的1.5~2倍E：σz为竖向附加应力分量I：边缘处应力急剧变化，外部迅速趋零
22第 22 页 · 附加应力分布规律

应力泡与应力扩散

上一节看到，基础中心线下附加应力随深度增加而衰减。但应力并非只在正下方直线下传——它会向四周扩散，形成一个像倒置灯泡般膨大的影响区域。这就是工程师常说的「应力泡」。

应力泡形状
等值线从荷载中心向外膨大，呈泡状而非同心圆
应力扩散规律
深度增加应力衰减，但水平影响范围反而扩大
显著影响深度判据
以附加应力等于自重应力20%处为计算下限
工程应用意义
据此确定地基压缩层计算深度
手指按压软海绵对应 →集中荷载下的应力扩散

表面压痕只有指尖大小，下方变形区却像灯泡一样向四周膨大

σz=0.2σcz\sigma_z = 0.2\sigma_{cz}
23第 23 页 · 应力泡与应力扩散

附加应力自测

点击作答

用角点法求均布荷载下矩形基础中心点处的附加应力σz时，需将基础划分为4个相等小矩形。若每个小矩形角点下的应力系数均为αc，则σz=?

24第 24 页 · 附加应力自测

超静孔隙水压力概念

荷载产生的孔隙水压力，与静孔隙水压力区分——会消散

超静孔隙水压力概念
荷载产生的孔隙水压力，与静孔隙水压力区分——会消散
25第 25 页 · 超静孔隙水压力概念

孔压系数A与B的含义

左路看B：等向应力下饱和土把多少外荷传给水；右路看A：偏应力下土骨架结构如何再产生孔压。

图解渲染中…
a4：饱和度Sr决定：B=1为完全饱和，B<1表示土中含可压缩气体a5：剪胀剪缩性决定：灵敏粘土A≈1-3；超固结土剪胀A<0a6：Skempton公式：Δu=B[Δσ3+A(Δσ1-Δσ3)]
26第 26 页 · 孔压系数A与B的含义

孔压系数的测定方法

在三轴仪上分两阶段加荷：先等压测B，再偏压测A。

1
关闭排水阀
保证不排水条件，孔压才能积累
2
等压加载σ₃
三向同压，土骨架尚未剪切变形
3
测孔压u₁
由B=u₁/σ₃反推孔压响应比例
4
加轴压Δσ₁
保持围压不变，仅轴向加偏应力
5
测Δu₂求A
由A=Δu₂/Δσ₁得到剪切时孔压系数
27第 27 页 · 孔压系数的测定方法

孔压消散与固结

沿时间轴看，超静孔压如何消散、有效应力如何增长，直至固结完成。

图解渲染中…
B：瞬时态：σ'=0，全部荷载由超静孔压Δu承担C：水从孔隙排出，超静孔压逐步减小D：Δu↓ 与 σ'↑ 此消彼长，应力向骨架转移E：u回归静水压，σ'=σ-u静，固结终止
28第 28 页 · 孔压消散与固结

应力计算知识图谱

  • ✓四种应力构成链条：自重→基底→附加→有效
  • ✓应力是状态量，需用张量与莫尔圆描述
  • ✓有效应力原理：总应力＝有效应力＋孔压
  • ✓布辛内斯克解是附加应力计算的解析基石
  • ✓孔压系数A、B联结应力路径与固结变形
延伸主题：固结沉降计算应力路径与本构模型数值方法求应力场
29第 29 页 · 应力计算知识图谱

深入思考

课后留三个问题。先自己琢磨，再对照参考答案想一想。

1有效应力原理把总应力拆为有效应力与孔隙水压力。'拆分'在物理上对应什么？为什么 σ' = σ - u 能描述土的强度？

参考答案Terzaghi通过实验发现：饱和土的强度和变形只取决于粒间接触力（即有效应力），与孔隙水压力无关。'拆分'的本质是把固体骨架受力与流体压力分离对待。

2布辛内斯克解假设半无限均质弹性体，但实际地基往往成层、非均质，这个解在工程中为什么仍然可用？误差最大可能出现在哪里？

参考答案基础影响深度通常远大于土层厚度差异，且工程上关心的是应力变化趋势而非绝对值。误差最大处出现在软硬土层交界面附近，应力可能突变或扩散偏估。

3如果地下水位在施工期间反复升降（如基坑降水），自重应力和有效应力会怎样变化？可能引发哪些工程问题？

参考答案水位下降→有效应力增大→土体压缩沉降；水位上升→有效应力减小→可能上浮或剪切破坏。这正是地面沉降、基坑突涌等问题的力学根源。

30第 30 页 · 深入思考