数学大学
连续函数的概念
微积分 · 第二章 连续函数
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连续函数的概念
微积分 · 第二章 连续函数
函数在一点连续的概念
连续 = 极限值等于函数值：图形在该点「一笔画出」不断开。
三要素
有定义、极限存在、极限等于函数值
几何直观
笔尖不离纸面画出该点附近图形
在一点的单侧连续性
单侧连续：左连续与右连续分别考察；两者都成立才连续。
左连续
左极限等于该点函数值
右连续
右极限等于该点函数值
间断点的分类
间断点按左右极限状态分类：可去、跳跃为第一类，无穷与振荡为第二类。
可去间断
左右极限相等但不等于函数值
跳跃间断
左右极限都存在但不相等
第二类
至少一侧极限不存在（无穷或振荡）
本节要点
- ✓连续 = 极限值等于函数值
- ✓左右都连续才是连续
- ✓第一类有极限，第二类无极限
延伸主题：判别几个间断点类型找分段函数的连续范围
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1可去间断点为什么叫「可去」？
参考答案它的左右极限相等，只是函数在该点没定义或取值不同。只要补充或修改该点的函数值为极限值，函数就在该点连续——「缺陷」可以去掉。
2判断间断点类型的一般步骤是什么？
参考答案先求左右极限：都存在则属第一类（相等为可去，不等为跳跃）；至少一个不存在则属第二类（趋于无穷为无穷间断，反复振荡为振荡间断）。
3分段函数在分界点处判断连续性的关键是什么？
参考答案分界点两侧解析式不同，必须分别算左右极限，再与该点的函数值比对：三者齐全且相等才连续。漏算任一侧或忘了核对函数值是常见错误。