数学大学
多元函数的偏导数
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
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多元函数的偏导数
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
偏导数的概念
偏导数：固定其余变量，只看一个变量的变化率。
定义
∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx,y)−f(x,y)]/Δx
记号
f_x、∂f/∂x、D₁f 同义
偏导数的几何意义
偏导数是曲面上沿坐标方向的切线斜率。
截线斜率
曲面被竖直面截得曲线在该点的斜率
两条切线
f_x 与 f_y 对应两个坐标方向的切线
高阶偏导数的概念
偏导数的偏导数即高阶偏导，二阶有四个。
记号
f_xx、f_xy、f_yx、f_yy
逐阶计算
先求一阶再对结果求偏导
混和偏导数与求导顺序无关
混合偏导连续时与求导次序无关（Clairaut/Schwarz 定理）。
条件
f_xy 与 f_yx 在区域内连续
结论
两者相等，求导顺序可自由交换
本节要点
- ✓偏导数 = 固定其余变量的变化率
- ✓几何：坐标方向切线斜率
- ✓混合偏导连续即可交换次序
延伸主题：算一个函数的四个二阶偏导举一个次序相关的反例
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1求偏导时「把别的变量当常数」具体怎么操作？
参考答案对 x 求偏导时，表达式中所有 y 项按常数处理：含 y 的因子原样保留、y 的函数不参与求导。多元幂指混合时先明确对谁求导，再套一元法则。
2偏导数记号 ∂f/∂x 中的 ∂ 与一元的 d 有什么区别？
参考答案∂ 强调「其余变量被固定」的偏变化，不像一元 d 那样是唯一的变化方向。多变量的函数沿不同方向有不同变化率，偏导只是坐标方向上的特例，方向导数与梯度再给出全貌。
3什么情况下函数偏导存在但「偏导不连续」，这时还能求二阶偏导吗？
参考答案偏导存在但分段处不连续时，二阶偏导可能不存在或不可交换。能否求二阶偏导要看一阶偏导函数自身在该点是否可偏导——逐阶独立判断，不能默认高阶偏导自动存在。