数学大学
信号分析函数
动态测试与分析（上） · 第二章 信号分析函数
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信号分析函数
动态测试与分析（上） · 第二章 信号分析函数
连续傅里叶函数——连续傅里
连续傅里叶变换把时间函数分解为无穷多复指数：非周期信号连续频谱。
正变换
X(f)=∫x(t)e^−j2πft dt，时域到频域
适用对象
连续、非周期的能量信号
连续傅里叶函数——连续傅里
逆变换把频谱合成回原信号：变换是可逆的，信息不丢失。
逆变换
x(t)=∫X(f)e^j2πft df，频域回时域
可逆含义
正逆变换互逆，频谱完整代表信号
连续傅里叶函数——连续傅里
典型信号的傅里叶变换：余弦出谱线，矩形出正弦比。
余弦信号
变换为一对谱线，频域一目了然
矩形窗
变换为正弦比函数形状
时续傅里叶函数——时续傅里
时域离散序列的傅里叶变换：频谱连续，且以采样频率为周期延拓。
对象
采样后的离散序列
频谱特点
连续且周期重复，周期为采样频率
时续傅里叶函数——时续傅里
离散序列频谱的延拓与混叠：采样不足时延拓谱相互重叠。
延拓机制
采样使原频谱按采样频率平移叠加
混叠
延拓谱重叠即频率混叠，需足够采样率
离散傅里叶函数
离散傅里叶变换时频都离散：计算机做频分析的唯一入口。
双离散
时域样本进、频域谱线出，都有限长
隐含周期
DFT 隐含把序列周期延拓的假设
本节要点
- ✓FT:连续非周期，频谱连续
- ✓序列的谱连续且周期延拓
- ✓采样不足引发频率混叠
- ✓DFT 双离散，计算机专用
延伸主题：推导采样与频谱延拓关系手算一个 4 点 DFT
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1从 FT 到 DFT，频谱发生了哪两步变化？
参考答案时域采样使频谱变成周期延拓（连续）；时域截断加频域采样使频谱也离散化——得到 DFT。两步分别是采样与截断的直接后果。
2频率混叠是怎么产生的，怎么避免？
参考答案采样使频谱按采样频率周期延拓，原频谱过宽时延拓副本相互重叠即混叠。避免方法：采样率高于信号最高频率两倍，或先抗混叠滤波。
3DFT 为什么要做「频域采样」？
参考答案计算机只能存有限个频谱样本。对连续频谱等间隔取 N 个点即频域采样，它与频域截断相对应——这正是 DFT「时域频域都离散」的由来。